17、已知 D(X)=9 ,D(Y)=36 ,(rho )_(x)y=0.4 ,则 (dfrac (1)(3)X+dfrac (1)(6)Y)=D(X+Y)=-|||-.(x-y)=

考查要点：本题主要考查方差的性质和协方差的计算，涉及随机变量线性组合的方差公式，以及相关系数与协方差的关系。

解题核心思路：

1. 协方差计算：利用相关系数 $\rho_{XY}$ 和标准差 $\sigma_X, \sigma_Y$ 计算协方差 $Cov(X,Y)$。
2. 方差公式：对线性组合 $aX + bY$，方差公式为：
   $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$
3. 符号处理：注意加法与减法对协方差项符号的影响。

破题关键点：

• 正确计算协方差：$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$。
• 代入系数：将题目中的系数代入方差公式，特别注意交叉项的系数。

步骤1：计算协方差 $Cov(X,Y)$

根据相关系数公式：
$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)} = 0.4 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{36} = 0.4 \cdot 3 \cdot 6 = 7.2$

步骤2：计算 $D\left(\dfrac{1}{3}X + \dfrac{1}{6}Y\right)$

代入方差公式：
$\begin{aligned}D\left(\dfrac{1}{3}X + \dfrac{1}{6}Y\right) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 D(X) + \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 D(Y) + 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot Cov(X,Y) \\&= \dfrac{1}{9} \cdot 9 + \dfrac{1}{36} \cdot 36 + 2 \cdot \dfrac{1}{18} \cdot 7.2 \\&= 1 + 1 + 0.8 = 2.8\end{aligned}$

步骤3：计算 $D(X+Y)$

直接应用方差公式：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) \\&= 9 + 36 + 2 \cdot 7.2 = 59.4\end{aligned}$

步骤4：计算 $D(X-Y)$

注意协方差项符号变化：
$\begin{aligned}D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y) \\&= 9 + 36 - 2 \cdot 7.2 = 30.6\end{aligned}$