题目
若矩阵A=[[1,1],[2,a]]和向量β=[b,1]ᵀ满足Aβ=2β，则(a,b)=____.
若矩阵A=[[1,1],[2,a]]和向量β=[b,1]ᵀ满足Aβ=2β，则(a,b)=____.
题目解答
答案
根据题意，矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \end{bmatrix} $ 和向量 $ \beta = \begin{bmatrix} b \\ 1 \end{bmatrix} $ 满足 $ A\beta = 2\beta $。
计算 $ A\beta $：
\[
A\beta = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b + 1 \\ 2b + a \end{bmatrix}
\]
由 $ A\beta = 2\beta $，得：
\[
\begin{bmatrix} b + 1 \\ 2b + a \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} b \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2b \\ 2 \end{bmatrix}
\]
比较对应元素，得到方程组：
\[
\begin{cases}
b + 1 = 2b \\
2b + a = 2
\end{cases}
\]
解第一个方程得 $ b = 1 $，代入第二个方程得 $ 2 \times 1 + a = 2 $，即 $ a = 0 $。
因此，$(a, b) = (0, 1)$。
答案：$(0, 1)$