题目

42、设X_(1),X_(2),L,X_(n)与Y_(1),Y_(2),L,Y_(n)都是来自于总体X的两独立样本，bar(X)，bar(Y)与S_(1)^2,S_(2)^2分别是两样本的均值和方差，E(X)=μ，D(X)=σ²，则有（）A.对于任意的常数a,b(a+b=1),Z=abar(X)+bbar(Y)是μ的无偏估计，且a=(n_(1))/(n_(1)+n_{2)}，b=(n_(2))/(n_(1)+n_{2)}，D(Z)达到最小B.对于任意的常数a,b(a+b=1),Z=abar(X)+bbar(Y)是μ的无偏估计，且a=(n_(1))/(n_(1)+n_{2)}，b=(n_(2))/(n_(1)+n_{2)}，D(Z)达到最小C.对于任意常数a_(1),a_(2),L,a_(n)，W=a_(1)X_(1)+a_(2)X_(2)+L+a_(n)X_(n)都是μ的无偏估计，并且当a_(1)=(1)/(n_(1))时，D(W)达到最小D.对于任意常数a_(1),a_(2),L,a_(n)，W=a_(1)X_(1)+a_(2)X_(2)+L+a_(n)X_(n)都是μ的无偏估计

42、设$X_{1},X_{2},L,X_{n}$与$Y_{1},Y_{2},L,Y_{n}$都是来自于总体X的两独立样本，$\bar{X}$，$\bar{Y}$与$S_{1}^{2},S_{2}^{2}$分别是两样本的均值和方差，E(X)=μ，D(X)=σ²，则有（） A.对于任意的常数a,b(a+b=1),Z=a$\bar{X}$+b$\bar{Y}$是μ的无偏估计，且$a=\frac{n_{1}}{n_{1}+n_{2}}$，$b=\frac{n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$，D(Z)达到最小 B.对于任意的常数a,b(a+b=1),Z=a$\bar{X}$+b$\bar{Y}$是μ的无偏估计，且$a=\frac{n_{1}}{n_{1}+n_{2}}$，$b=\frac{n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$，D(Z)达到最小 C.对于任意常数$a_{1},a_{2},L,a_{n}$，$W=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+L+a_{n}X_{n}$都是μ的无偏估计，并且当$a_{1}=\frac{1}{n_{1}}$时，D(W)达到最小 D.对于任意常数$a_{1},a_{2},L,a_{n}$，$W=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+L+a_{n}X_{n}$都是μ的无偏估计

题目解答

答案

根据题目给出的条件，我们已知：

  • $X_1, X_2, \ldots, X_{n_1}$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，样本量为 $n_1$。
  • $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n_2}$ 是来自总体 $X$ 的另一个独立样本，样本量为 $n_2$。
  • 总体期望 $E(X) = \mu$，总体方差 $D(X) = \sigma^2$。
  • $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别是两样本的均值。

我们需要逐一分析各个选项的正确性。

1. 分析样本均值的性质

由于样本是独立同分布的，样本均值具有以下期望和方差：

  • $E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n_1}$
  • $E(\bar{Y}) = \mu$，$D(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{n_2}$

2. 分析选项 A 和 B

这两个选项讨论的是线性组合 $Z = a\bar{X} + b\bar{Y}$ 作为 $\mu$ 的估计量。

  • 无偏性：
    计算 $Z$ 的期望：
    $E(Z) = E(a\bar{X} + b\bar{Y}) = aE(\bar{X}) + bE(\bar{Y}) = a\mu + b\mu = (a+b)\mu$
    要使 $Z$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，必须满足 $E(Z) = \mu$，即 $(a+b)\mu = \mu$。
    对于任意 $\mu$，这要求 $a + b = 1$。
    因此，对于任意常数 $a, b$ 且 $a+b=1$，$Z = a\bar{X} + b\bar{Y}$ 确实是 $\mu$ 的无偏估计。

  • 方差最小化（有效性）：
    由于两个样本相互独立，$\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 也相互独立。计算 $Z$ 的方差：
    $D(Z) = D(a\bar{X} + b\bar{Y}) = a^2D(\bar{X}) + b^2D(\bar{Y}) = a^2\frac{\sigma^2}{n_1} + b^2\frac{\sigma^2}{n_2}$
    已知 $a + b = 1$，即 $b = 1 - a$。代入上式：
    $D(Z) = \sigma^2 \left[ \frac{a^2}{n_1} + \frac{(1-a)^2}{n_2} \right]$
    为了使 $D(Z)$ 最小，我们需要对 $a$ 求导并令其为 0：
    $\frac{d(D(Z))}{da} = \sigma^2 \left[ \frac{2a}{n_1} + \frac{2(1-a)(-1)}{n_2} \right] = 0 \implies \frac{a}{n_1} - \frac{1-a}{n_2} = 0 \implies a n_2 = (1-a)n_1 \implies a(n_1 + n_2) = n_1 \implies a = \frac{n_1}{n_1 + n_2}$
    进而得到 $b = 1 - a = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$。

对比选项：

  • 选项 A 给出的 $a = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$，$b = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$，不符合推导结果。
  • 选项 B 给出的 $a = \frac{n_1}{n_1 + n_2}$，$b = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$，符合推导结果。

3. 分析选项 C 和 D

这两个选项讨论的是 $W = a_1X_1 + a_2X_2 + \ldots + a_{n_1}X_{n_1}$。

  • 无偏性：
    $E(W) = \sum_{i=1}^{n_1} a_i E(X_i) = \mu \sum_{i=1}^{n_1} a_i$
    要使 $W$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，必须满足 $\sum_{i=1}^{n_1} a_i = 1$。
    选项 C 和 D 称“对于任意常数 $a_1, a_2, \ldots, a_{n_1}$”，$W$ 都是 $\mu$ 的无偏估计，这是错误的，因为常数 $a_i$ 必须满足和为 1 的条件。

结论

综上所述，只有 选项 B 的陈述是完全正确的。

正确答案：B