题目

1.写出下列随机试验的样本空间.(1)在单位圆内任取一点，记录它的坐标.(2)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”.如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果.

1.写出下列随机试验的样本空间. (1)在单位圆内任取一点，记录它的坐标. (2)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”. 如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果.

题目解答

答案

(1) **单位圆内取点** 单位圆方程为 $x^2 + y^2 \leq 1$，样本空间为圆内所有点，即 \[ S = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} \] (2) **产品检查结果** 设“1”表示正品，“0”表示次品。满足条件的序列： - **长度2**：00（连续两个次品） - **长度3**：100（第一个为正品，后两个为次品） - **长度4**： - 无连续两个次品：0100, 0101, 0110, 0111, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 **答案** \[ \boxed{ \begin{array}{ll} (1) & S = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} \\ (2) & S = \{ 00, 100, 0100, 0101, 0110, 0111, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 \} \end{array} } \]

解析

  1. 几何样本空间：第一题考查在单位圆内取点的样本空间，需明确所有可能的坐标点满足单位圆方程。
  2. 有限序列停止条件：第二题需根据停止规则（连续两次次品或检查四个产品）列举所有可能的结果序列，注意避免无效序列。

第（1）题

确定样本空间范围

单位圆的方程为 $x^2 + y^2 \leq 1$，样本空间包含圆内所有点 $(x, y)$。

第（2）题

停止条件分析

  • 连续两个次品（00）：立即停止检查。
  • 检查四个产品：无论结果如何，检查到第四个产品结束。

分类列举序列

  1. 长度为2：

    • 唯一可能：$00$（连续两个次品）。

  2. 长度为3：

    • 第三个结果为次品（0），且前两个结果中恰好有一个次品：
      • $100$（前两次为1和0，第三次为0）。

  3. 长度为4：

    • 前三个结果中无连续次品，且第四个结果可为任意：
      • 有效序列：$0100, 0101, 0110, 0111, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111$。