若随机变量X服从二项分布B(n,p),则E(X)=( )。A. npB. np(1-p)C. n(1-p)D. np/p

本题考查二项分布的期望公式这一知识点。解题思路是直接运用二项分布期望的定义和公式来求解随机变量$X$的期望$E(X)$。

下面我们来详细推导二项分布$B(n,p)$的期望公式：
设随机变量$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，即$X\sim B(n,p)$。二项分布表示在$n$次独立重复试验中，每次试验成功的概率为$p$，$X$表示成功的次数。
根据期望的定义，离散型随机变量$X$的期望$E(X)=\sum_{k = 0}^{n}kP(X = k)$。
对于二项分布，$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。
则$E(X)=\sum_{k = 0}^{n}kC_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$。
因为当$k = 0$时，$kC_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}=0$，所以$E(X)=\sum_{k = 1}^{n}kC_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$。
又因为$kC_{n}^{k}=k\times\frac{n!}{k!(n - k)!}=\frac{n!}{(k - 1)![(n - 1)-(k - 1)]!}=n\times\frac{(n - 1)!}{(k - 1)![(n - 1)-(k - 1)]!}=nC_{n - 1}^{k - 1}$。
所以$E(X)=\sum_{k = 1}^{n}nC_{n - 1}^{k - 1}p^{k}(1 - p)^{n - k}$。
令$i=k - 1$，则当$k = 1$时，$i = 0$；当$k = n$时，$i = n - 1$。
$E(X)=np\sum_{i = 0}^{n - 1}C_{n - 1}^{i}p^{i}(1 - p)^{(n - 1)-i}$。
根据二项式定理$(a + b)^m=\sum_{i = 0}^{m}C_{m}^{i}a^{i}b^{m - i}$，这里$a = p$，$b = 1 - p$，$m = n - 1$，则$\sum_{i = 0}^{n - 1}C_{n - 1}^{i}p^{i}(1 - p)^{(n - 1)-i}=(p+(1 - p))^{n - 1}=1^{n - 1}=1$。
所以$E(X)=np$。