题目
已知一容器由=(x)^2(0leqslant xleqslant 2)绕=(x)^2(0leqslant xleqslant 2)轴旋转而成，如果容器内的水量是该容器总量的=(x)^2(0leqslant xleqslant 2)，则容器内水面的高度是______;如果水的密度为=(x)^2(0leqslant xleqslant 2),要将容器中这部分水全部抽出需要作的功是______.
已知一容器由
绕
轴旋转而成，如果容器内的水量是该容器总量的
，则容器内水面的高度是______;如果水的密度为
,要将容器中这部分水全部抽出需要作的功是______.
题目解答
答案
本题考查定积分的应用.
令：
解得
.
故水面高度为
.
将水抽出容器的过程可以视为匀速运动，即重力和浮力持平，此时机械做功和重力做功相抵消，因此可以通过浮力做功来求机械做功.
由物理公式，
，即浮力乘以距离.
.
解析
步骤 1：计算容器的总体积
容器由$y={x}^{2}(0\leqslant x\leqslant 2)$绕轴旋转而成，因此可以使用圆盘法计算其体积。圆盘法的公式为$V=2\pi {\int }_{a}^{b}x(y-{x}^{2})dx$，其中$y={x}^{2}$，$a=0$，$b=2$。将这些值代入公式中，得到$V=2\pi {\int }_{0}^{2}x(4-{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到$V=2\pi {(2{x}^{2}-\dfrac {{x}^{4}}{4})}^{2}=8\pi $。
步骤 2：计算容器内水面的高度
容器内的水量是该容器总量的$\dfrac {1}{4}$，因此容器内水的体积为$V_{1}=\dfrac {1}{4}V=2\pi $。令$V_{1}=2\pi {\int }_{0}^{\sqrt {3}}x(y-{x}^{2})dx=2\pi $，解得$y=2$。因此，容器内水面的高度为$y=2$。
步骤 3：计算将容器中这部分水全部抽出需要作的功
将水抽出容器的过程可以视为匀速运动，即重力和浮力持平，此时机械做功和重力做功相抵消，因此可以通过浮力做功来求机械做功。由物理公式，$y\cdot S'd=M$，即浮力乘以距离。$W=\pi pg{\int }_{0}^{2}(4-{x}^{2}){x}^{2}dx=\dfrac {64}{15}\pi pg$。
容器由$y={x}^{2}(0\leqslant x\leqslant 2)$绕轴旋转而成，因此可以使用圆盘法计算其体积。圆盘法的公式为$V=2\pi {\int }_{a}^{b}x(y-{x}^{2})dx$，其中$y={x}^{2}$，$a=0$，$b=2$。将这些值代入公式中，得到$V=2\pi {\int }_{0}^{2}x(4-{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到$V=2\pi {(2{x}^{2}-\dfrac {{x}^{4}}{4})}^{2}=8\pi $。
步骤 2：计算容器内水面的高度
容器内的水量是该容器总量的$\dfrac {1}{4}$，因此容器内水的体积为$V_{1}=\dfrac {1}{4}V=2\pi $。令$V_{1}=2\pi {\int }_{0}^{\sqrt {3}}x(y-{x}^{2})dx=2\pi $，解得$y=2$。因此，容器内水面的高度为$y=2$。
步骤 3：计算将容器中这部分水全部抽出需要作的功
将水抽出容器的过程可以视为匀速运动，即重力和浮力持平，此时机械做功和重力做功相抵消，因此可以通过浮力做功来求机械做功。由物理公式，$y\cdot S'd=M$，即浮力乘以距离。$W=\pi pg{\int }_{0}^{2}(4-{x}^{2}){x}^{2}dx=\dfrac {64}{15}\pi pg$。