设总体 X sim N(0,9)，且 X_1, X_2, X_3, X_4 是来自总体 X 的简单随机样本，设统计量 Y = a(X_1 + 2X_2)^2 + b(X_3 - 3X_4)^2 服从 chi^2(2) 分布，求常数 a, b 的值。并证 Y 的数学期望等于 2。

设总体 $X \sim N(0, 9)$，样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 独立同分布。统计量 $Y = a(X_1 + 2X_2)^2 + b(X_3 - 3X_4)^2$ 服从 $\chi^2(2)$ 分布。

1. 确定分布：
   $X_1 + 2X_2 \sim N(0, 45)$，$X_3 - 3X_4 \sim N(0, 90)$。
2. 标准化：
   $\frac{X_1 + 2X_2}{\sqrt{45}} \sim N(0, 1)$，$\frac{X_3 - 3X_4}{\sqrt{90}} \sim N(0, 1)$。
3. 表达 $Y$：
   $Y = 45a Z_1^2 + 90b Z_2^2$，其中 $Z_1, Z_2$ 独立标准正态。
4. 确定 $a$ 和 $b$：
   由 $Y \sim \chi^2(2)$，得 $45a = 1$，$90b = 1$，解得 $a = \frac{1}{45}$，$b = \frac{1}{90}$。
5. 计算期望：
   $E(Y) = E\left(\frac{1}{45}(X_1 + 2X_2)^2 + \frac{1}{90}(X_3 - 3X_4)^2\right) = 1 + 1 = 2$。

答案：
$a = \frac{1}{45}$，$b = \frac{1}{90}$，$E(Y) = 2$。

$\boxed{\begin{array}{ccc}a = \frac{1}{45}, & b = \frac{1}{90}, & E(Y) = 2\end{array}}$