题目
例6.24 设随机变量X1和 X2独立同分布(方差大于零),令-|||-=(X)_(1)+a(X)_(2) =(X)_(1)+b(X)_(2) (a,b均不为零),-|||-如果X与Y不相关,则有 ()-|||-(A)a,b可以是任意常数 (B) a=b-|||-(C)a与b互为负倒数 (D)a与b互为倒数
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量X和Y
给定随机变量X1和X2独立同分布，定义新的随机变量X和Y如下：
$X = X_1 + aX_2$
$Y = X_1 + bX_2$
其中a和b是常数，且a和b均不为零。
步骤 2：计算X和Y的协方差
由于X1和X2独立同分布，我们有：
$E[X_1] = E[X_2]$
$D[X_1] = D[X_2]$
$Cov(X_1, X_2) = 0$
因此，X和Y的协方差为：
$Cov(X, Y) = Cov(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2)$
$= Cov(X_1, X_1) + Cov(X_1, bX_2) + Cov(aX_2, X_1) + Cov(aX_2, bX_2)$
$= D[X_1] + bCov(X_1, X_2) + aCov(X_2, X_1) + abD[X_2]$
$= D[X_1] + abD[X_2]$
$= (1 + ab)D[X_1]$
步骤 3：确定X和Y不相关的条件
如果X和Y不相关，则它们的协方差为零，即：
$Cov(X, Y) = (1 + ab)D[X_1] = 0$
由于$D[X_1] > 0$，则有：
$1 + ab = 0$
$a = -\frac{1}{b}$
给定随机变量X1和X2独立同分布，定义新的随机变量X和Y如下：
$X = X_1 + aX_2$
$Y = X_1 + bX_2$
其中a和b是常数，且a和b均不为零。
步骤 2：计算X和Y的协方差
由于X1和X2独立同分布，我们有：
$E[X_1] = E[X_2]$
$D[X_1] = D[X_2]$
$Cov(X_1, X_2) = 0$
因此，X和Y的协方差为：
$Cov(X, Y) = Cov(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2)$
$= Cov(X_1, X_1) + Cov(X_1, bX_2) + Cov(aX_2, X_1) + Cov(aX_2, bX_2)$
$= D[X_1] + bCov(X_1, X_2) + aCov(X_2, X_1) + abD[X_2]$
$= D[X_1] + abD[X_2]$
$= (1 + ab)D[X_1]$
步骤 3：确定X和Y不相关的条件
如果X和Y不相关，则它们的协方差为零，即：
$Cov(X, Y) = (1 + ab)D[X_1] = 0$
由于$D[X_1] > 0$，则有：
$1 + ab = 0$
$a = -\frac{1}{b}$