24.设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，即P(X=k)=(lambda^k)/(k!)e^-lambda,k=0,1,2,…;lambda>0,其中λ为未知参数，如果观测到样本值为x_(1),x_(2),…,x_(n)，求参数λ的极大似然估计值。(8分)

本题考查极大似然估计的知识。解题思路是先根据总体的概率分布写出似然函数，再对似然函数取对数，然后求对数似然函数关于未知参数的导数，令导数为零，最后解出未知参数的值，这个值就是未知参数的极大似然估计值。

1. 写出似然函数：
   已知总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布$P(\lambda)$，其概率分布为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k = 0,1,2,\cdots;\lambda>0$。
   对于样本值$x_1,x_2,\cdots,x_n$，似然函数$L(\lambda)$是样本取值的联合概率，即$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P\{X = x_i\}$。
   将$P\{X = x_i\}=\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}$代入可得：
   $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}$
   根据乘法运算法则$\prod_{i = 1}^{n}(a_ib_i)=(\prod_{i = 1}^{n}a_i)(\prod_{i = 1}^{n}b_i)$，可将上式变形为：
   $L(\lambda)=\left(\prod_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_i!}\right)\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}e^{-n\lambda}$
2. 对似然函数取对数：
   为了方便求导，对$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$\ln L(\lambda)$。
   根据对数运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，$\ln a^b = b\ln a$，可得：
   $\ln L(\lambda)=\ln\left(\prod_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_i!}\right)+\ln\left(\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}\right)+\ln\left(e^{-n\lambda}\right)$
   $=-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i!+\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda - n\lambda$
3. 求对数似然函数的导数并令其为零：
   对$\ln L(\lambda)$关于$\lambda$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得：
   $\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=\frac{d}{d\lambda}\left(-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i!+\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda - n\lambda\right)$
   因为$-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i!$是常数，其导数为$0$，所以：
   $\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n$
   令$\frac{d}{d\lambda}\ln L(\lambda)=0$，即$\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n = 0$。
4. 求解未知参数$\lambda$：
   由$\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n = 0$，移项可得$\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}=n$，两边同时乘以$\lambda$得到$\sum_{i = 1}^{n}x_i = n\lambda$，再两边同时除以$n$，解得$\lambda=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}=\overline{x}$，其中$\overline{x}$表示样本均值。