例13 (22-1 5分)设随机变量X~U(0,3),Y~P(2),Cov(X,Y)=-1,则D(2X-Y+1)=().A. 1B. 5C. 9D. 12

本题考查均匀分布、泊松分布的方差以及方差的性质和协方差的相关知识。解题思路是先根据均匀分布和泊松分布的性质求出$D(X)$和$D(Y)$，再利用方差的性质$D(aX + bY + c)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2abCov(X,Y)$来计算$D(2X - Y + 1)$。

步骤一：求$D(X)$

已知随机变量$X\sim U(0,3)$，即$X$服从区间$(0,3)$上的均匀分布。
对于均匀分布$U(a,b)$，其方差公式为$D(X)=\frac{(b - a)^{2}}{12}$。
将$a = 0$，$b = 3$代入公式可得：
$D(X)=\frac{(3 - 0)^{2}}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

步骤二：求$D(Y)$

已知随机变量$Y\sim P(2)$，即$Y$服从参数为$2$的泊松分布。
对于泊松分布$P(\lambda)$，其方差公式为$D(Y)=\lambda$。
将$\lambda = 2$代入公式可得：
$D(Y)=2$

步骤三：计算$D(2X - Y + 1)$

根据方差的性质$D(aX + bY + c)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2abCov(X,Y)$，在$D(2X - Y + 1)$中，$a = 2$，$b = -1$，$c = 1$。
将$D(X)=\frac{3}{4}$，$D(Y)=2$，$Cov(X,Y)= -1$，$a = 2$，$b = -1$代入方差性质公式可得：
$\begin{align*}D(2X - Y + 1)&=2^{2}D(X)+(-1)^{2}D(Y)+2\times2\times(-1)\times Cov(X,Y)\\&=4\times\frac{3}{4}+1\times2 + 4\times(-1)\times(-1)\\&=3 + 2 + 4\\&=9\end{align*}$