题目
8.4 糖厂用自动打包机打包，每包的标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位：千克）如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5已知每包的重量服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（alpha=0.05）。
8.4 糖厂用自动打包机打包，每包的标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位：千克）如下：
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5
已知每包的重量服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（$\alpha=0.05$）。
题目解答
答案
1. **建立假设**：
$H_0: \mu = 100$（正常），$H_1: \mu \neq 100$（不正常）。
2. **计算样本均值**：
$\overline{x} = \frac{99.3 + 98.7 + \cdots + 100.5}{9} \approx 99.978$。
3. **计算样本标准差**：
$s \approx 1.2122$。
4. **计算检验统计量**：
$t = \frac{\overline{x} - 100}{s / \sqrt{9}} \approx -0.054$。
5. **确定临界值**：
$\alpha = 0.05$，$df = 8$，$t_{0.025,8} \approx 2.306$。
6. **结论**：
$|t| \approx 0.054 < 2.306$，不拒绝 $H_0$。
**答案**：
$\boxed{\text{该日打包机工作正常}}$
解析
步骤 1：建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 100$（打包机工作正常）。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 100$（打包机工作不正常）。
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{99.3 + 98.7 + 100.5 + 101.2 + 98.3 + 99.7 + 99.5 + 102.1 + 100.5}{9} \approx 99.978$。
步骤 3：计算样本标准差
- 样本标准差 $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{9}(x_i - \overline{x})^2}{9-1}} \approx 1.2122$。
步骤 4：计算检验统计量
- 检验统计量 $t = \frac{\overline{x} - 100}{s / \sqrt{9}} \approx -0.054$。
步骤 5：确定临界值
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 8$，临界值 $t_{0.025,8} \approx 2.306$。
步骤 6：结论
- 比较检验统计量与临界值，$|t| \approx 0.054 < 2.306$，不拒绝原假设 $H_0$。
- 因此，该日打包机工作正常。
- 原假设 $H_0: \mu = 100$（打包机工作正常）。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 100$（打包机工作不正常）。
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{99.3 + 98.7 + 100.5 + 101.2 + 98.3 + 99.7 + 99.5 + 102.1 + 100.5}{9} \approx 99.978$。
步骤 3：计算样本标准差
- 样本标准差 $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{9}(x_i - \overline{x})^2}{9-1}} \approx 1.2122$。
步骤 4：计算检验统计量
- 检验统计量 $t = \frac{\overline{x} - 100}{s / \sqrt{9}} \approx -0.054$。
步骤 5：确定临界值
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 8$，临界值 $t_{0.025,8} \approx 2.306$。
步骤 6：结论
- 比较检验统计量与临界值，$|t| \approx 0.054 < 2.306$，不拒绝原假设 $H_0$。
- 因此，该日打包机工作正常。