题目
若 f(z) 在简单闭曲线 C 上连续,在闭曲线 C 内部处处解析,则一定有 int_(C) f(z) , dz = 0A. 对B. 错
若 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 上连续,在闭曲线 $C$ 内部处处解析,则一定有 $\int_{C} f(z) \, dz = 0$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查柯西 - 古萨基本定理的应用。解题思路是根据柯西 - 古萨基本定理的条件和结论,判断题目所给条件是否满足该定理,若满足则可得出相应结论。
柯西 - 古萨基本定理:如果函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析,$C$ 为 $D$ 内的任意一条简单闭曲线,那么 $\int_{C} f(z) \, dz = 0$。
在本题中,已知 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 上连续,在闭曲线 $C$ 内部处处解析。这意味着闭曲线 $C$ 及其内部构成的区域是单连通区域(因为在闭曲线内部处处解析,不存在奇点等破坏单连通性的情况),且 $f(z)$ 在这个单连通区域内解析,满足柯西 - 古萨基本定理的条件。
根据柯西 - 古萨基本定理,对于这样的函数 $f(z)$ 和简单闭曲线 $C$,一定有 $\int_{C} f(z) \, dz = 0$。