有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001，在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理）

我们来一步一步解决这个概率问题，使用泊松定理（Poisson Theorem）来近似计算概率。

题目回顾：

• 每辆车在某时段发生事故的概率为：$ p = 0.0001 $
• 该时段通过的汽车数量为：$ n = 1000 $
• 要求：出事故的次数不小于 2 的概率，即 $ P(X \geq 2) $
• 要求使用泊松定理进行近似计算

第一步：理解问题的分布模型

这是一个典型的小概率事件在大量独立试验中发生的次数问题，适合用泊松分布来近似。

原始模型是二项分布：

设 $ X $ 为发生事故的车辆数，则
$ X \sim B(n=1000, p=0.0001) $

由于 $ n $ 较大，$ p $ 很小，而 $ \lambda = np $ 适中，符合泊松定理的使用条件。

第二步：计算泊松分布的参数 $ \lambda $

$\lambda = n \cdot p = 1000 \times 0.0001 = 0.1$

所以，用泊松分布 $ P(\lambda = 0.1) $ 来近似二项分布。

第三步：求 $ P(X \geq 2) $

我们要求的是：

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

根据泊松分布的概率质量函数：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

代入 $ \lambda = 0.1 $

计算 $ P(X = 0) $：

$P(X = 0) = \frac{0.1^0 e^{-0.1}}{0!} = e^{-0.1} \approx 0.904837$

计算 $ P(X = 1) $：

$P(X = 1) = \frac{0.1^1 e^{-0.1}}{1!} = 0.1 \cdot e^{-0.1} \approx 0.1 \times 0.904837 = 0.0904837$

计算 $ P(X \geq 2) $：

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.904837 - 0.0904837 = 1 - 0.9953207 = 0.0046793$

第四步：结果四舍五入（通常保留4位小数）

$P(X \geq 2) \approx 0.0047$

最终答案：

$\boxed{0.0047}$

即：在该时段内，1000 辆车通过时，发生事故的次数不小于 2 的概率约为 0.0047。

解题小结：

• 使用泊松定理的条件满足：$ n $ 大，$ p $ 小，$ \lambda = np = 0.1 $ 较小
• 泊松近似大大简化了计算
• 最终结果通过 $ 1 - P(0) - P(1) $ 得到

✅ 答案：约 0.0047