题目

2.盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取4个球，以X表示取到的黑球的个数，以Y表示取到的红球的个数.求X和Y的联合分布律.

题目解答

答案

从7个球（3黑2红2白）中任取4个，总取法数为 $C_7^4 = 35$。设 $X$ 为黑球数，$Y$ 为红球数，白球数为 $4 - X - Y$。计算每种组合的概率： - **$X=0$**： $Y=0$：不可能（仅2白），$P=0$； $Y=1$：不可能（仅2白），$P=0$； $Y=2$：$C_2^2C_2^2=1$，$P=\frac{1}{35}$。 - **$X=1$**： $Y=0$：不可能（仅2白），$P=0$； $Y=1$：$C_3^1C_2^1C_2^2=6$，$P=\frac{6}{35}$； $Y=2$：$C_3^1C_2^2C_2^1=6$，$P=\frac{6}{35}$。 - **$X=2$**： $Y=0$：$C_3^2C_2^0C_2^2=3$，$P=\frac{3}{35}$； $Y=1$：$C_3^2C_2^1C_2^1=12$，$P=\frac{12}{35}$； $Y=2$：$C_3^2C_2^2C_2^0=3$，$P=\frac{3}{35}$。 - **$X=3$**： $Y=0$：$C_3^3C_2^0C_2^1=2$，$P=\frac{2}{35}$； $Y=1$：$C_3^3C_2^1C_2^0=2$，$P=\frac{2}{35}$； $Y=2$：不可能（仅1个非黑红球），$P=0$。 **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & 0 & 0 & \frac{1}{35} \\ X=1 & 0 & \frac{6}{35} & \frac{6}{35} \\ X=2 & \frac{3}{35} & \frac{12}{35} & \frac{3}{35} \\ X=3 & \frac{2}{35} & \frac{2}{35} & 0 \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查超几何分布的联合分布律，需要结合组合数计算不同取球情况下的概率。

解题核心思路：

确定可能的取值范围：根据黑球和红球的数量，确定X和Y的可能取值。
约束条件分析：白球数量为2，因此需满足黑球数+红球数+白球数=4，且白球数不超过2。
组合数计算：对每个可能的(X,Y)组合，计算对应的组合数，再除以总取法数$C_7^4=35$得到概率。

破题关键点：

排除不可能情况：例如当X=0时，Y只能取2（因白球最多2个）。
分步计算：按X的取值逐个分析Y的可能值，避免遗漏或重复。

步骤1：确定总取法数

总取法数为$C_7^4 = 35$。

步骤2：分析X和Y的可能取值

X的可能取值：0,1,2,3（黑球最多3个）。
Y的可能取值：0,1,2（红球最多2个）。
约束条件：白球数$4 - X - Y$需满足$0 \leq 4 - X - Y \leq 2$。

步骤3：逐个计算(X,Y)的概率

当X=0时

Y=0或1：白球数为4或3，超过盒中白球数2，概率为0。
Y=2：取2红球和2白球，组合数为$C_2^2C_2^2 = 1$，概率为$\frac{1}{35}$。

当X=1时

Y=0：白球数为3，不可能，概率为0。
Y=1：取1黑、1红、2白，组合数为$C_3^1C_2^1C_2^2 = 6$，概率为$\frac{6}{35}$。
Y=2：取1黑、2红、1白，组合数为$C_3^1C_2^2C_2^1 = 6$，概率为$\frac{6}{35}$。

当X=2时

Y=0：取2黑、0红、2白，组合数为$C_3^2C_2^0C_2^2 = 3$，概率为$\frac{3}{35}$。
Y=1：取2黑、1红、1白，组合数为$C_3^2C_2^1C_2^1 = 12$，概率为$\frac{12}{35}$。
Y=2：取2黑、2红、0白，组合数为$C_3^2C_2^2C_2^0 = 3$，概率为$\frac{3}{35}$。

当X=3时

Y=0：取3黑、0红、1白，组合数为$C_3^3C_2^0C_2^1 = 2$，概率为$\frac{2}{35}$。
Y=1：取3黑、1红、0白，组合数为$C_3^3C_2^1C_2^0 = 2$，概率为$\frac{2}{35}$。
Y=2：白球数为$4 - 3 - 2 = -1$，不可能，概率为0。