题目
设总体X服从正态(mu ,(sigma )^2)分布,而(mu ,(sigma )^2)是来自X的一个样本,则(mu ,(sigma )^2)服从的分布为_.
设总体X服从正态
分布,而
是来自X的一个样本,则
服从的分布为_.
题目解答
答案
有
,故
又因为
,即
。
故此题答案为
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体X服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布$N(\mu ,\frac{{\sigma }^{2}}{n})$，其中n是样本容量。对于样本X1,X2,...,X20，样本容量n=20，因此$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^{2}}{20})$。
步骤 2：计算U的期望值
根据题目，$U=3\sum_{i=1}^{12}X_i-4\sum_{i=1}^{20}X_i$。由于$\sum_{i=1}^{12}X_i$和$\sum_{i=1}^{20}X_i$都是正态分布，它们的线性组合也是正态分布。因此，$U$的期望值为$E(U)=3E(\sum_{i=1}^{12}X_i)-4E(\sum_{i=1}^{20}X_i)=3(12\mu)-4(20\mu)=-48\mu$。
步骤 3：计算U的方差
$U$的方差为$Var(U)=Var(3\sum_{i=1}^{12}X_i-4\sum_{i=1}^{20}X_i)=9Var(\sum_{i=1}^{12}X_i)+16Var(\sum_{i=1}^{20}X_i)=9(12{\sigma }^{2})+16(20{\sigma }^{2})=120{\sigma }^{2}$。
步骤 4：确定U的分布
由于$U$是正态分布的线性组合，因此$U$也服从正态分布。根据步骤2和步骤3，$U\sim N(-48\mu,120{\sigma }^{2})$。为了标准化$U$，我们令$Z=\frac{U+48\mu}{\sqrt{120}\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$。
由于总体X服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布$N(\mu ,\frac{{\sigma }^{2}}{n})$，其中n是样本容量。对于样本X1,X2,...,X20，样本容量n=20，因此$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^{2}}{20})$。
步骤 2：计算U的期望值
根据题目，$U=3\sum_{i=1}^{12}X_i-4\sum_{i=1}^{20}X_i$。由于$\sum_{i=1}^{12}X_i$和$\sum_{i=1}^{20}X_i$都是正态分布，它们的线性组合也是正态分布。因此，$U$的期望值为$E(U)=3E(\sum_{i=1}^{12}X_i)-4E(\sum_{i=1}^{20}X_i)=3(12\mu)-4(20\mu)=-48\mu$。
步骤 3：计算U的方差
$U$的方差为$Var(U)=Var(3\sum_{i=1}^{12}X_i-4\sum_{i=1}^{20}X_i)=9Var(\sum_{i=1}^{12}X_i)+16Var(\sum_{i=1}^{20}X_i)=9(12{\sigma }^{2})+16(20{\sigma }^{2})=120{\sigma }^{2}$。
步骤 4：确定U的分布
由于$U$是正态分布的线性组合，因此$U$也服从正态分布。根据步骤2和步骤3，$U\sim N(-48\mu,120{\sigma }^{2})$。为了标准化$U$，我们令$Z=\frac{U+48\mu}{\sqrt{120}\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$。