题目
设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，求Y和Z的相关系数rho_(yz).
设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，求Y和Z的相关系数$\rho_{yz}$.
题目解答
答案
已知 $Z = X - 0.4$，利用协方差性质得：
\[
\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X).
\]
由方差性质知：
\[
\sigma_Z^2 = \text{Var}(X - 0.4) = \text{Var}(X) \Rightarrow \sigma_Z = \sigma_X.
\]
因此，相关系数为：
\[
\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_Y \sigma_X} = \rho_{XY} = 0.9.
\]
或者，由于线性变换 $Z = X - 0.4$（系数 $a=1>0$）不改变相关性，直接得 $\rho_{YZ} = \rho_{XY} = 0.9$。
**答案：** $\boxed{0.9}$
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的性质，我们有：
\[ \text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X). \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有：
\[ \sigma_Z^2 = \text{Var}(X - 0.4) = \text{Var}(X) \Rightarrow \sigma_Z = \sigma_X. \]
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
\[ \rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_Y \sigma_X} = \rho_{XY} = 0.9. \]
根据协方差的性质，我们有：
\[ \text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X). \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有：
\[ \sigma_Z^2 = \text{Var}(X - 0.4) = \text{Var}(X) \Rightarrow \sigma_Z = \sigma_X. \]
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
\[ \rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_Y \sigma_X} = \rho_{XY} = 0.9. \]