曲线 y = x + sin^2 x 在点 ((pi)/(2), 1 + (pi)/(2)) 处的切线方程的斜率是____

本题考查知识点为导数的几何意义，解题思路是先求出曲线所对应函数的导数，再将给定的点的横坐标代入导数表达式，得到的值即为曲线在该点处切线方程的斜率。

1. 求函数$y = x + \sin^2 x$的导数：
   • 根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，对于$y = x + \sin^2 x$，分别对$x$和$\sin^2 x$求导。
   • 对于$y_1 = x$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，所以$y_1^\prime=(x)^\prime=1$。
   • 对于$y_2=\sin^2 x$，令$u = \sin x$，则$y_2 = u^2$。
     • 根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，先对$y_2 = u^2$关于$u$求导，$y_2^\prime_{u}=(u^2)^\prime = 2u$；再对$u=\sin x$关于$x$求导，$u^\prime_{x}=(\sin x)^\prime=\cos x$。
     • 所以$y_2^\prime=y_2^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}=2u\cdot\cos x$，把$u = \sin x$代回，得到$y_2^\prime = 2\sin x\cos x$。
     • 根据二倍角公式$\sin2x = 2\sin x\cos x$，则$y_2^\prime=\sin2x$。
   • 那么$y^\prime=y_1^\prime + y_2^\prime=1+\sin2x$。
2. 求曲线在点$(\frac{\pi}{2},1 + \frac{\pi}{2})$处切线的斜率：
   • 由导数的几何意义可知，函数在某点处的导数就是曲线在该点处切线的斜率。
   • 把$x = \frac{\pi}{2}$代入$y^\prime = 1+\sin2x$中，得到$y^\prime(\frac{\pi}{2})=1+\sin(2\times\frac{\pi}{2})$。
   • 因为$\sin\pi = 0$，所以$y^\prime(\frac{\pi}{2})=1 + 0=1$。