在某学校的一次考试中,已知全体学生的成绩服从正态分布,其总方差为100。从中抽取25名学生,其平均成绩为80,方差为64。以99%的置信度估计该学校全体学生成绩均值的置信区间是______A. [76.08,83.92]B. [75.90,84.10]C. [76.86,83.14]D. [74.84,85.16]

考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的置信区间估计，涉及总体方差已知时的z分布应用，以及置信区间的计算步骤。

解题核心思路：

1. 确定分布类型：由于总体服从正态分布且总体方差已知（σ²=100），因此使用z分布计算置信区间。
2. 计算标准误：标准误公式为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中σ=10，n=25。
3. 查找z值：99%置信度对应双侧检验的z临界值为2.576。
4. 构建置信区间：利用公式 $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 计算区间范围。

破题关键点：

• 区分z分布与t分布：明确总体方差已知时使用z分布，避免误用样本方差。
• 精确计算临界值：99%置信度对应的z值需准确查找标准正态分布表。

1. 确定总体参数与样本统计量

• 总体方差 $\sigma^2 = 100$，故总体标准差 $\sigma = 10$。
• 样本容量 $n = 25$，样本均值 $\bar{X} = 80$。

2. 计算标准误

标准误为：
$\text{标准误} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2.$

3. 确定z临界值

99%置信度对应 $\alpha = 0.01$，双侧检验的z临界值 $z_{\alpha/2} = z_{0.005} = 2.576$。

4. 计算置信区间

置信区间公式为：
$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \text{标准误} = 80 \pm 2.576 \times 2.$
计算得：

• 下限：$80 - 2.576 \times 2 = 80 - 5.152 = 74.848$，
• 上限：$80 + 2.576 \times 2 = 80 + 5.152 = 85.152$。

5. 四舍五入

保留两位小数后，置信区间为 $[74.85, 85.15]$。但选项D为 $[74.84, 85.16]$，推测因z值取更精确值（如2.5758）导致结果四舍五入差异。