题目
(2)曲线y=(1)/(x)在点((1)/(2),2)处的切线方程为____.
(2)曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(\frac{1}{2},2)$处的切线方程为____.
题目解答
答案
设曲线 $y = \frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为 $k$。
首先，计算导数 $y'$：
\[
y' = -\frac{1}{x^2}
\]
在 $x = \frac{1}{2}$ 处，斜率 $k$ 为：
\[
k = y'\bigg|_{x=\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -4
\]
利用点斜式方程 $y - y_1 = k(x - x_1)$，代入点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 和斜率 $k = -4$：
\[
y - 2 = -4\left(x - \frac{1}{2}\right)
\]
化简得：
\[
y - 2 = -4x + 2 \implies 4x + y - 4 = 0
\]
因此，切线方程为 $\boxed{4x + y - 4 = 0}$。