20.设测量从某地到某一目标的距离时,发生的误差 sim N(20,(40)^2) (单位:m)。-|||-(1)求测量一次产生的误差的绝对值不超过30m的概率;-|||-(2)如果接连测量三次,各次测量是相互独立进行的,求至少有一次误差的绝对值-|||-不超过30m的概率。

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及独立事件的概率应用。

解题思路：

1. 第一问：将误差范围转化为标准正态分布的概率，利用标准正态分布表计算。
2. 第二问：利用独立事件的性质，通过补集概率简化计算。

关键点：

• 标准化转换：将原正态分布转化为标准正态分布，通过查表求概率。
• 补集思想：至少一次发生的问题转化为全部不发生的补集。

第（1）题

标准化处理

误差 $X \sim N(20, 40^2)$，求 $P(|X| \leq 30)$。
将 $X$ 标准化：
$Z = \frac{X - 20}{40}$
则：
$P(-30 \leq X \leq 30) = P\left( \frac{-30 - 20}{40} \leq Z \leq \frac{30 - 20}{40} \right) = P(-1.25 \leq Z \leq 0.25)$

查标准正态分布表

• $P(Z \leq 0.25) = 0.5987$
• $P(Z \leq -1.25) = 0.1056$

计算概率差

$P(-1.25 \leq Z \leq 0.25) = 0.5987 - 0.1056 = 0.4931$

第（2）题

独立事件概率

三次测量独立，每次误差绝对值不超过30m的概率为 $p = 0.4931$，则三次都不发生的概率为：
$(1 - p)^3 = (1 - 0.4931)^3 = 0.5069^3$

计算补集概率

$1 - 0.5069^3 \approx 1 - 0.1302 = 0.8698$