题目

甲乙两班期末数学考试成绩如下： 甲班(分) 人数(人) 乙班(分) 人数所占比重(%) 60以下 2 60以下 5 60-70 10 60—70 20 70-80 20 70—80 25 80-90 20 80—90 35 90以上 8 90—100 15 列公式计算:(计算结果至少保留一位小数) (1)甲班分数的算术均值与标准差；(4分)

甲乙两班期末数学考试成绩如下： 甲班(分) 人数(人) 乙班(分) 人数所占比重(%) 60以下 2 60以下 5 60-70 10 60—70 20 70-80 20 70—80 25 80-90 20 80—90 35 90以上 8 90—100 15 列公式计算:(计算结果至少保留一位小数) (1)甲班分数的算术均值与标准差；(4分)

题目解答

答案

（1）甲班分数的算术均值与标准差计算如下：

算术均值：
$\bar{x} = \frac{(2 \times 55) + (10 \times 65) + (20 \times 75) + (20 \times 85) + (8 \times 95)}{60} \approx 78.7$
甲班分数的算术均值为 78.7分。

标准差：
$s = \sqrt{\frac{(2 \times 561.69) + (10 \times 187.69) + (20 \times 13.69) + (20 \times 39.69) + (8 \times 265.69)}{60}} \approx 10.2$
甲班分数的标准差为 10.2分。

最终答案：
甲班分数的算术均值为 78.7分，标准差为 10.2分。

解析

考查要点：本题主要考查分组数据的算术均值与标准差计算，需要掌握组中值的确定方法以及加权计算的步骤。

解题核心思路：

  1. 确定各组的组中值：根据分数区间，取各区间的中间值作为代表。
  2. 计算加权总和：用组中值乘以对应人数，求和后除以总人数得到算术均值。
  3. 计算标准差：先计算各组组中值与均值的平方差，加权求和后除以总人数，再开平方。

破题关键点：

  • 组中值的正确选取：如“60以下”取55，“60-70”取65，依此类推。
  • 分步计算避免误差：均值和标准差的计算涉及多步运算，需注意中间结果的准确性。

（1）甲班分数的算术均值与标准差

算术均值计算

  1. 确定组中值：
    各分数段组中值分别为：

    • 60以下 → 55
    • 60-70 → 65
    • 70-80 → 75
    • 80-90 → 85
    • 90以上 → 95

  2. 计算加权总和：
    $\begin{align*} \text{总和} &= (2 \times 55) + (10 \times 65) + (20 \times 75) + (20 \times 85) + (8 \times 95) \\ &= 110 + 650 + 1500 + 1700 + 760 = 4720 \end{align*}$

  3. 求均值：
    $\bar{x} = \frac{4720}{60} \approx 78.7 \ \text{分}$

标准差计算

  1. 计算各组平方差：

    • $(55 - 78.7)^2 \times 2 = 561.69 \times 2 = 1123.38$
    • $(65 - 78.7)^2 \times 10 = 187.69 \times 10 = 1876.9$
    • $(75 - 78.7)^2 \times 20 = 13.69 \times 20 = 273.8$
    • $(85 - 78.7)^2 \times 20 = 39.69 \times 20 = 793.8$
    • $(95 - 78.7)^2 \times 8 = 265.69 \times 8 = 2125.52$

  2. 求平方差总和：
    $1123.38 + 1876.9 + 273.8 + 793.8 + 2125.52 = 6193.4$

  3. 求方差与标准差：
    $s = \sqrt{\frac{6193.4}{60}} \approx \sqrt{103.223} \approx 10.2 \ \text{分}$