题目
设随机变量sim N(0,4) sim (X)^2(10)，且X与Y相互独立，则sim N(0,4) sim (X)^2(10)服从分布（）A.sim N(0,4) sim (X)^2(10)B.sim N(0,4) sim (X)^2(10)C.sim N(0,4) sim (X)^2(10)D.sim N(0,4) sim (X)^2(10)
设随机变量
，且X与Y相互独立，则
服从分布（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
表示X服从参数
的正态分布，则
，
表示Y服从自由度为10的卡方分布，X与Y相互独立，则
，因此选择D。
解析
步骤 1：确定X的分布
$X\sim N(0,4)$表示X服从参数$d=0$ ${\sigma }^{2}=4$的正态分布。因此，$X$的分布是均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化X
由于$X$服从正态分布，我们可以将$X$标准化，即$\dfrac {X}{2}\sim N(0,1)$。这是因为$X$的方差为4，所以标准差为2，标准化后得到的随机变量服从标准正态分布。
步骤 3：确定标准化后的X的平方的分布
${(\dfrac {X}{2})}^{2}\sim {X}^{2}(1)$，即标准化后的$X$的平方服从自由度为1的卡方分布。
步骤 4：确定Y的分布
$Y\sim {X}^{2}(10)$表示$Y$服从自由度为10的卡方分布。
步骤 5：确定5X^2 2Y的分布
由于$X$与$Y$相互独立，我们可以将$\dfrac {{(\dfrac {x}{2})}^{2}}{\dfrac {y}{10}}$看作是两个独立的卡方分布的比值，即$\dfrac {{(\dfrac {x}{2})}^{2}}{\dfrac {y}{10}}\sim F(1,10)$。因此，$\dfrac {5{X}^{2}}{2Y}\sim F(1,10)$。
$X\sim N(0,4)$表示X服从参数$d=0$ ${\sigma }^{2}=4$的正态分布。因此，$X$的分布是均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化X
由于$X$服从正态分布，我们可以将$X$标准化，即$\dfrac {X}{2}\sim N(0,1)$。这是因为$X$的方差为4，所以标准差为2，标准化后得到的随机变量服从标准正态分布。
步骤 3：确定标准化后的X的平方的分布
${(\dfrac {X}{2})}^{2}\sim {X}^{2}(1)$，即标准化后的$X$的平方服从自由度为1的卡方分布。
步骤 4：确定Y的分布
$Y\sim {X}^{2}(10)$表示$Y$服从自由度为10的卡方分布。
步骤 5：确定5X^2 2Y的分布
由于$X$与$Y$相互独立，我们可以将$\dfrac {{(\dfrac {x}{2})}^{2}}{\dfrac {y}{10}}$看作是两个独立的卡方分布的比值，即$\dfrac {{(\dfrac {x}{2})}^{2}}{\dfrac {y}{10}}\sim F(1,10)$。因此，$\dfrac {5{X}^{2}}{2Y}\sim F(1,10)$。