[2013年真题]设函数y=f(x)由方程y-x=e^x(1-y)确定，求lim_(ntoinfty)n[f((1)/(n))-1].
题目解答
答案
将 $x = 0$ 代入方程 $y - x = e^{x(1-y)}$，得 $y = 1$，即 $f(0) = 1$。
对原方程求导得：
$\frac{dy}{dx} - 1 = e^{x(1-y)} \left[ (1-y) - x \frac{dy}{dx} \right]$
代入 $x = 0$，$y = 1$，解得 $\frac{dy}{dx}\big|_{x=0} = 1$，即 $f'(0) = 1$。
由导数定义：
$\lim_{n \to \infty} n \left[ f\left( \frac{1}{n} \right) - 1 \right] = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = f'(0) = 1$
答案： $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查隐函数求导及导数的定义应用。需要学生掌握隐函数求导法则，并能将极限表达式转化为导数形式进行求解。
解题核心思路：
- 确定初始条件：将$x=0$代入原方程，求出$f(0)$的值。
- 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，代入$x=0$和$y=1$，求出$f'(0)$。
- 极限与导数关系：利用导数的定义，将极限表达式转化为$f'(0)$，从而直接得出结果。
破题关键点：
- 隐函数求导时的链式法则应用，特别注意对$e^{x(1-y)}$中指数部分的求导。
- 导数定义的灵活运用，将极限形式与导数定义式对应。
步骤1：确定$f(0)$的值
将$x=0$代入原方程$y - x = e^{x(1-y)}$，得：
$y - 0 = e^{0 \cdot (1 - y)} \implies y = e^0 = 1.$
因此，$f(0) = 1$。
步骤2：对原方程求导
对等式$y - x = e^{x(1-y)}$两边关于$x$求导：
- 左边导数：$\frac{dy}{dx} - 1$。
- 右边导数：利用链式法则，设$u = x(1 - y)$，则：
$\frac{d}{dx} e^{x(1-y)} = e^{x(1-y)} \cdot \left[ (1 - y) - x \frac{dy}{dx} \right].$
整理得：
$\frac{dy}{dx} - 1 = e^{x(1-y)} \left[ (1 - y) - x \frac{dy}{dx} \right].$
步骤3：代入$x=0$和$y=1$求$f'(0)$
将$x=0$，$y=1$代入上式：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} - 1 = e^{0} \left[ (1 - 1) - 0 \cdot \frac{dy}{dx} \right] \implies \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} - 1 = 0.$
解得：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = 1 \implies f'(0) = 1.$
步骤4：利用导数定义求极限
根据导数定义：
$\lim_{n \to \infty} n \left[ f\left( \frac{1}{n} \right) - 1 \right] = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = f'(0) = 1.$