题目
3 设总体Xsim N(mu,sigma^2)，x_(1),x_(2),dots,x_(n)为样本，(n>1)，bar(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)为均值，则一定有bigcircx_(n)sim N(mu,sigma^2)bigcircbar(x)sim N(mu,sigma^2)bigcirc 2x_(n)sim N(mu,sigma^2)●x_(1)+dots x_(n)sim N(mu,sigma^2)
3 设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$为样本，(n>1)，$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$为均值，则一定有
$\bigcirc$$x_{n}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
$\bigcirc$$\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
$\bigcirc$$ 2x_{n}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
●$x_{1}+\dots x_{n}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
题目解答
答案
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本 $x_1, x_2, \dots, x_n$（$n > 1$），样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$。
**选项分析：**
A. $x_n \sim N(\mu, \sigma^2)$：样本 $x_n$ 与总体同分布，正确。
B. $\bar{x} \sim N(\mu, \sigma^2)$：样本均值 $\bar{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，错误。
C. $2x_n \sim N(\mu, \sigma^2)$：$2x_n \sim N(2\mu, 4\sigma^2)$，均值和方差均改变，错误。
D. $x_1 + \cdots + x_n \sim N(\mu, \sigma^2)$：和 $S = \sum_{i=1}^n x_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)$，均值和方差均改变，错误。
**答案：** $\boxed{A}$
解析
本题考查正态分布的性质性质以及样本均值、样本和的分布。解题的关键在于明确正态分布分布的性质，即若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$a,b$为常数，则$aX + b\sim N(a\mu + b,a^{2}\sigma^{2})$，同时要掌握样本均值和样本和的分布规律。
- 分析选项A：
因为样本$x_{n}$是从总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$中抽取的，根据样本的性质，样本中的每一个个体都与总体同分布，所以$x_{n}\sim N(\mu,\sigma^{2})$}))，该选项正确。 - 分析选项B： 已知样本均值$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，根据正态分布的性质，若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^{2})$，则$\bar{x}\sim}N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，而不是$N(\mu,\sigma^{2})$，所以该选项B错误。
- 分析选项C： 对于$2x_{n}$，由于$x_{n\sim N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$aX\sim N(a\mu,a^{2}\sigma^{2})$，这里$a = 2$，所以$2x_{n}\sim N(2\mu,4\sigma^{2})$，并非$N(\mu,\sigma^{2})$，该选项错误。
- 分析选项D： 设$S=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，因为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布的可加性，独立正态分布的和仍服从正态分布，且均值为各均值之和，方差为各方差之和，所以$S\sim N(n\mu,n\sigma^{2})$，而不是$N(\mu,\sigma^{2})$，该选项错误。