题目

23.(填空题，4.0分)设(X_(1),X_(2),...,X_(10),X_(11))是来自于正态总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，bar(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^10X_(i)，S^2=(1)/(9)sum_(i=1)^10(X_(i)-bar(X))^2，则Y=(10(X_(11)-bar(X))^2)/(11S^2)服从的分布为_____(请写出分布类型和自由度)

23.(填空题，4.0分) 设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{10},X_{11})$是来自于正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{10}X_{i}$，$S^{2}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，则$Y=\frac{10(X_{11}-\bar{X})^{2}}{11S^{2}}$服从的分布为_____(请写出分布类型和自由度)

题目解答

答案

为了确定随机变量 $ Y = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11S^2} $ 的分布，我们需要分析 $ X_{11} - \bar{X} $ 和 $ S^2 $ 的分布，然后使用它们的性质来找到 $ Y $ 的分布。 1. **$ X_{11} - \bar{X} $ 的分布：** - 样本均值 $ \bar{X} $ 由 $ \bar{X} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i $ 给出。 - 由于 $ X_1, X_2, \ldots, X_{10}, X_{11} $ 独立同分布于 $ N(\mu, \sigma^2) $，$ \bar{X} $ 也服从正态分布，均值为 $ \mu $，方差为 $ \frac{\sigma^2}{10} $。 - 因此，$ X_{11} - \bar{X} $ 服从正态分布，均值为 $ 0 $，方差为 $ \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{10} = \frac{11\sigma^2}{10} $。 - 标准化 $ X_{11} - \bar{X} $，我们得到 $ \frac{X_{11} - \bar{X}}{\sigma \sqrt{\frac{11}{10}}} \sim N(0, 1) $。 - 因此，$ \frac{(X_{11} - \bar{X})^2}{\sigma^2 \frac{11}{10}} \sim \chi^2(1) $，或等价地，$ \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2} \sim \chi^2(1) $。 2. **$ S^2 $ 的分布：** - 样本方差 $ S^2 $ 由 $ S^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 $ 给出。 - 由于 $ X_1, X_2, \ldots, X_{10} $ 独立同分布于 $ N(\mu, \sigma^2) $，$ \frac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9) $。 3. **$ Y $ 的分布：** - 我们有 $ Y = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11S^2} $。 - 从 $ X_{11} - \bar{X} $ 和 $ S^2 $ 的分布中，我们知道 $ \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2} \sim \chi^2(1) $ 和 $ \frac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9) $。 - 因此，$ Y = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{9S^2}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{S^2}{\sigma^2}} = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{1}{9} \cdot \frac{9S^2}{\sigma^2}} = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{9} \cdot \chi^2(9)} \sim F(1, 9) $. 因此，$ Y $ 服从 $ F $ 分布，自由度为 $ 1 $ 和 $ 9 $。答案是 $\boxed{F(1,9)}$.

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下统计量的分布，涉及样本均值、样本方差的分布，以及F分布的构造。

解题核心思路：

  1. 分析分子部分：将$X_{11}-\bar{X}$标准化，转化为卡方分布；
  2. 分析分母部分：利用样本方差$S^2$与卡方分布的关系；
  3. 构造F分布：将分子和分母的卡方变量组合，验证独立性后得到F分布。

破题关键点：

  • 独立性：$X_{11}$与前10个样本独立，因此$X_{11}-\bar{X}$与$S^2$独立；
  • 标准化处理：将分子和分母分别转化为标准卡方形式，再求比值。

分析分子部分

  1. 计算$X_{11}-\bar{X}$的分布：

    • $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{10}\right)$；
    • $X_{11} \sim N(\mu, \sigma^2)$，且与$\bar{X}$独立；
    • $X_{11}-\bar{X} \sim N\left(0, \frac{11\sigma^2}{10}\right)$。

  2. 标准化为卡方分布：
    $\frac{(X_{11}-\bar{X})^2}{\frac{11\sigma^2}{10}} \sim \chi^2(1) \quad \Rightarrow \quad \frac{10(X_{11}-\bar{X})^2}{11\sigma^2} \sim \chi^2(1).$

分析分母部分

  1. 样本方差的分布：
    $\frac{9S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9).$

构造F分布

  1. 组合分子与分母：
    $Y = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(9)/9} \sim F(1, 9).$