10.设α(x)=1-cos x^2,β(x)=x^3,当x→0时,β(x)是α(x)的____无穷小.(填“高阶”、“低阶”、“同阶但不等价”、“等价”)(3分)

题目分析

已知两个无穷小量：

• $\alpha(x) = 1 - \cos x^2$
• $\beta(x) = x^3$

我们需要判断当 $x \to 0$ 时，$\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的什么类型的无穷小。这可以通过计算它们比值的极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$ 来判断。

1. 确定 $\alpha(x)$ 的等价无穷小

当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$。根据常用的等价无穷小公式：
$1 - \cos u \sim \frac{1}{2} u^2 \quad (u \to 0)$

令 $u = x^2$，则有：
$\alpha(x) = 1 - \cos x^2 \sim \frac{1}{2} (x^2)^2 = \frac{1}{2} x^4$

2. 计算极限

现在我们来计算 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 的比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{1 - \cos x^2}$

将 $\alpha(x)$ 替换为它的等价无穷小 $\frac{1}{2} x^4$：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\frac{1}{2} x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^3}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x}$

3. 分析极限结果

当 $x \to 0$ 时，$\frac{2}{x} \to \infty$（即极限为无穷大）。

根据无穷小阶的比较定义：

• 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小。
• 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小。
• 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \ (C \neq 0, 1)$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶但不等价无穷小。
• 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小。

由于极限为 $\infty$，说明 $\beta(x)$ 趋于 $0$ 的速度比 $\alpha(x)$ 慢，即 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的低阶无穷小。

结论

当 $x \to 0$ 时，$\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的 低阶 无穷小。