题目

三、判断题( ) 1.对立事件一定是互斥事件。( ) 2.设X为一随机变量，F(x)是X的分布函数，a为一个常数，则一定有P(X>a)=1-F(a)。( ) 3.若X服从参数为λ的指数分布，则D(X)=lambda^2。( ) 4.若随机变量X,Y相互独立，则一定有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。( ) 5.设总体X~N(μ,σ²),X₁,X₂,…,Xₙ是总体一个样本，overline(X),S²分别是样本均值和样本方差，则(overline(X)-mu)/(frac(S){sqrt(n))}sim t(n)。

三、判断题 ( ) 1.对立事件一定是互斥事件。 ( ) 2.设X为一随机变量，F(x)是X的分布函数，a为一个常数，则一定有P{X>a}=1-F(a)。 ( ) 3.若X服从参数为λ的指数分布，则D(X)=$\lambda^{2}$。 ( ) 4.若随机变量X,Y相互独立，则一定有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 ( ) 5.设总体X~N(μ,σ²),X₁,X₂,…,Xₙ是总体一个样本，$\overline{X}$,S²分别是样本均值和样本方差，则$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n)$。

题目解答

答案

让我们逐一分析每个判断题。 1. **对立事件一定是互斥事件。** - 对立事件是两个事件，其中一个事件的发生意味着另一个事件不发生。互斥事件是两个事件，它们不能同时发生。对立事件是互斥事件的一种特殊类型，其中两个事件是互补的（即，它们的并集是整个样本空间）。 - 因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 - 答案：正确。 2. **设X为一随机变量，F(x)是X的分布函数，a为一个常数，则一定有P{X>a}=1-F(a)。** - 分布函数F(x)定义为P{X≤x}。因此，P{X>a} = 1 - P{X≤a} = 1 - F(a)。 - 答案：正确。 3. **若X服从参数为λ的指数分布，则D(X)=$\lambda^{2}$。** - 指数分布的方差由D(X) = $\frac{1}{\lambda^2}$给出。 - 答案：错误。 4. **若随机变量X,Y相互独立，则一定有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。** - 对于两个随机变量X和Y，它们和的方差由D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)给出。如果X和Y是独立的，那么Cov(X,Y) = 0，所以D(X+Y) = D(X) + D(Y)。 - 答案：正确。 5. **设总体X~N(μ,σ²),X₁,X₂,…,Xₙ是总体一个样本，$\overline{X}$,S²分别是样本均值和样本方差，则$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n)$。** - 统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$遵循自由度为n-1的t分布，而不是n。因此，正确的陈述是$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$。 - 答案：错误。 最终答案是： 1. 正确 2. 正确 3. 错误 4. 正确 5. 错误 所以，答案是 $\boxed{\text{对，对，错，对，错}}$。

解析

  1. 对立事件与互斥事件的关系：对立事件是互斥事件的特例，必须满足两个事件的并集为整个样本空间。
  2. 分布函数的定义：分布函数$F(a)$表示$P(X \leq a)$，由此可推导$P(X > a)$的表达式。
  3. 指数分布的方差：指数分布的方差公式为$\frac{1}{\lambda^2}$，需注意与题目中的表达式对比。
  4. 独立随机变量的方差性质：独立变量和的方差等于方差的和。
  5. t分布的自由度：样本方差$S^2$基于$n-1$自由度，因此$t$分布的自由度应为$n-1$。

第1题

对立事件一定是互斥事件

  • 对立事件要求两个事件互斥且并集为样本空间，因此必然满足互斥条件。
  • 结论：正确。

第2题

$P\{X > a\} = 1 - F(a)$

  • 分布函数定义为$F(a) = P(X \leq a)$，因此：
    $P(X > a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - F(a).$
  • 结论：正确。

第3题

指数分布的方差为$\lambda^2$

  • 指数分布的方差公式为：
    $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}.$
  • 题目中写为$\lambda^2$，与公式矛盾。
  • 结论：错误。

第4题

独立变量和的方差

  • 若$X$与$Y$独立，则协方差$\text{Cov}(X,Y) = 0$，因此：
    $D(X+Y) = D(X) + D(Y).$
  • 结论：正确。

第5题

t分布的自由度

  • 样本方差$S^2$的计算公式为：
    $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.$
  • 因此统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$服从自由度为$n-1$的$t$分布，而非$n$。
  • 结论：错误。