题目
14.(难度★★★)(2023辽宁)在地-|||-球上观察,月球和太阳的角直径-|||-(直径对应的张角)近似相等,如14.(难度★★★)(2023辽宁)在地-|||-球上观察,月球和太阳的角直径-|||-(直径对应的张角)近似相等,如
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定月球和地球的轨道半径关系
根据题目条件，月球和太阳的角直径近似相等，因此月球绕地球运动的轨道半径 $r_1$ 和地球绕太阳运动的轨道半径 $r_2$ 与它们的直径成正比。由于地球半径是月球半径的 $k$ 倍，可以得出 $r_1 = k r_2$。
步骤 2：应用开普勒第三定律
根据开普勒第三定律，天体绕中心天体运动的周期的平方与轨道半径的立方成正比，即 $T^2 \propto r^3$。对于月球绕地球运动和地球绕太阳运动，可以写出：
\[ \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
代入 $r_1 = k r_2$，得到：
\[ \frac{T_1^2}{(k r_2)^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
化简得到：
\[ \frac{T_1^2}{k^3 r_2^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
\[ \frac{T_1^2}{k^3} = T_2^2 \]
\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = k^3 \]
\[ \frac{T_1}{T_2} = k^{3/2} \]
步骤 3：计算地球与太阳的平均密度之比
地球和太阳的平均密度分别为 $\rho_{\text{地球}}$ 和 $\rho_{\text{太阳}}$，它们的体积分别为 $V_{\text{地球}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{地球}}^3$ 和 $V_{\text{太阳}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{太阳}}^3$。由于地球半径是月球半径的 $k$ 倍，可以得出 $R_{\text{地球}} = k R_{\text{月球}}$。因此，地球与太阳的平均密度之比为：
\[ \frac{\rho_{\text{地球}}}{\rho_{\text{太阳}}} = \frac{\frac{M_{\text{地球}}}{V_{\text{地球}}}}{\frac{M_{\text{太阳}}}{V_{\text{太阳}}}} = \frac{M_{\text{地球}}}{M_{\text{太阳}}} \cdot \frac{V_{\text{太阳}}}{V_{\text{地球}}} \]
根据开普勒第三定律，可以得出：
\[ \frac{M_{\text{地球}}}{M_{\text{太阳}}} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{(k r_2)^3}{r_2^3} = k^3 \]
因此，地球与太阳的平均密度之比为：
\[ \frac{\rho_{\text{地球}}}{\rho_{\text{太阳}}} = k^3 \cdot \frac{V_{\text{太阳}}}{V_{\text{地球}}} = k^3 \cdot \frac{\frac{4}{3} \pi R_{\text{太阳}}^3}{\frac{4}{3} \pi R_{\text{地球}}^3} = k^3 \cdot \frac{R_{\text{太阳}}^3}{(k R_{\text{月球}})^3} = k^3 \cdot \frac{1}{k^3} = \frac{1}{k^3} \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \]
根据题目条件，月球和太阳的角直径近似相等，因此月球绕地球运动的轨道半径 $r_1$ 和地球绕太阳运动的轨道半径 $r_2$ 与它们的直径成正比。由于地球半径是月球半径的 $k$ 倍，可以得出 $r_1 = k r_2$。
步骤 2：应用开普勒第三定律
根据开普勒第三定律，天体绕中心天体运动的周期的平方与轨道半径的立方成正比，即 $T^2 \propto r^3$。对于月球绕地球运动和地球绕太阳运动，可以写出：
\[ \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
代入 $r_1 = k r_2$，得到：
\[ \frac{T_1^2}{(k r_2)^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
化简得到：
\[ \frac{T_1^2}{k^3 r_2^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} \]
\[ \frac{T_1^2}{k^3} = T_2^2 \]
\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = k^3 \]
\[ \frac{T_1}{T_2} = k^{3/2} \]
步骤 3：计算地球与太阳的平均密度之比
地球和太阳的平均密度分别为 $\rho_{\text{地球}}$ 和 $\rho_{\text{太阳}}$，它们的体积分别为 $V_{\text{地球}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{地球}}^3$ 和 $V_{\text{太阳}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{太阳}}^3$。由于地球半径是月球半径的 $k$ 倍，可以得出 $R_{\text{地球}} = k R_{\text{月球}}$。因此，地球与太阳的平均密度之比为：
\[ \frac{\rho_{\text{地球}}}{\rho_{\text{太阳}}} = \frac{\frac{M_{\text{地球}}}{V_{\text{地球}}}}{\frac{M_{\text{太阳}}}{V_{\text{太阳}}}} = \frac{M_{\text{地球}}}{M_{\text{太阳}}} \cdot \frac{V_{\text{太阳}}}{V_{\text{地球}}} \]
根据开普勒第三定律，可以得出：
\[ \frac{M_{\text{地球}}}{M_{\text{太阳}}} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{(k r_2)^3}{r_2^3} = k^3 \]
因此，地球与太阳的平均密度之比为：
\[ \frac{\rho_{\text{地球}}}{\rho_{\text{太阳}}} = k^3 \cdot \frac{V_{\text{太阳}}}{V_{\text{地球}}} = k^3 \cdot \frac{\frac{4}{3} \pi R_{\text{太阳}}^3}{\frac{4}{3} \pi R_{\text{地球}}^3} = k^3 \cdot \frac{R_{\text{太阳}}^3}{(k R_{\text{月球}})^3} = k^3 \cdot \frac{1}{k^3} = \frac{1}{k^3} \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \]