【练习5】求曲线y=2sin x+x^2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程.
题目解答
答案
为了求曲线 $y = 2\sin x + x^2$ 上横坐标为 $x = 0$ 的点处的切线方程和法线方程，我们需要按照以下步骤进行： 1. 求出当 $x = 0$ 时的 $y$ 值： $y = 2\sin 0 + 0^2 = 0$ 所以，点的坐标是 $(0, 0)$。 2. 求出函数 $y = 2\sin x + x^2$ 的导数 $y'$： $y' = \frac{d}{dx}(2\sin x + x^2) = 2\cos x + 2x$ 当 $x = 0$ 时，导数的值为： $y'(0) = 2\cos 0 + 2 \cdot 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$ 所以，切线的斜率 $k$ 为 2。 3. 求出切线方程： 切线方程的点斜式为 $y - y_1 = k(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是切点， $k$ 是切线的斜率。代入 $(x_1, y_1) = (0, 0)$ 和 $k = 2$，我们得到： $y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x$ 所以，切线方程为 $y = 2x$。 4. 求出法线方程： 法线的斜率是切线斜率的负倒数。因为切线的斜率为 2，所以法线的斜率为 $-\frac{1}{2}$。法线方程的点斜式同样为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $m$ 是法线的斜率。代入 $(x_1, y_1) = (0, 0)$ 和 $m = -\frac{1}{2}$，我们得到： $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0) \implies y = -\frac{1}{2}x$ 所以，法线方程为 $y = -\frac{1}{2}x$。 因此，切线方程为 $\boxed{y = 2x}$ 和法线方程为 $\boxed{y = -\frac{1}{2}x}$。
解析
本题考查导数的几何意义，解题的关键在于先求出曲线在指定横坐标处的切点坐标，再通过求导得到该点处切线的斜率，最后利用点斜式方程分别求出切线方程和法线方程。
- 求切点坐标：
已知曲线方程$y = 2\sin x + x^2$，要求横坐标$x = 0$处的点，将$x = 0$代入曲线方程可得：
$y=2\sin 0 + 0^2$
因为$\sin 0 = 0$，所以$y = 0$，则切点坐标为$(0, 0)$。 - 求切线斜率：
对曲线方程$y = 2\sin x + x^2$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
$y^\prime=\frac{d}{dx}(2\sin x + x^2)=2\cos x + 2x$
将$x = 0$代入导函数$y^\prime$，可得切线的斜率$k$为：
$k=y^\prime(0)=2\cos 0 + 2\times 0$
因为$\cos 0 = 1$，所以$k = 2\times 1 + 0 = 2$。 - 求切线方程：
根据直线的点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$（其中$(x_1, y_1)$为直线上一点，$k$为直线斜率），已知切点$(0, 0)$，切线斜率$k = 2$，代入可得：
$y - 0 = 2(x - 0)$
即$y = 2x$。 - 求法线方程：
因为法线与切线垂直，所以法线的斜率$m$是切线斜率$k$的负倒数，已知切线斜率$k = 2$，则法线斜率$m = -\frac{1}{2}$。
同样根据直线的点斜式方程，已知切点$(0, 0)$，法线斜率$m = -\frac{1}{2}$，代入可得：
$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$
即$y = -\frac{1}{2}x$。