题目
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250千克，其标准差为30千克。现用一种化肥进行试验，从25个地块抽样，平均产量为270千克。这种化肥是否使小麦明显增产(alpha=0.05)?
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250千克，其标准差为30千克。现用一种化肥进行试验，从25个地块抽样，平均产量为270千克。这种化肥是否使小麦明显增产($\alpha=0.05$)?
题目解答
答案
1. **建立假设**：
$H_0: \mu \leq 250$（无显著增产），
$H_1: \mu > 250$（显著增产）。
2. **计算Z统计量**：
\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{270 - 250}{30 / \sqrt{25}} = 3.33
\]
3. **确定临界值**：
对于$\alpha = 0.05$，单侧检验的临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
4. **比较并结论**：
$Z = 3.33 > Z_{0.05} = 1.645$，拒绝$H_0$。
**答案**：
\[
\boxed{\text{这种化肥使小麦明显增产。}}
\]
解析
本题考查的是总体均值的单侧假设检验知识。解题的整体思路是先根据题目要求建立合适的原假设和备择假设，然后根据已知条件计算检验统计量，接着根据给定的显著性水平确定临界值，最后将检验统计量的值与临界值进行比较，从而判断是否拒绝原假设，得出相应的结论。
- 建立假设：
- 原假设 $H_0$ 通常表示没有显著变化或没有显著效果，这里表示使用化肥后小麦亩产量没有明显增产，即 $H_0: \mu \leq 250$。
- 备择假设 $H_1$ 是我们想要验证的情况，即使用化肥后小麦亩产量有明显增产，所以 $H_1: \mu > 250$。
- 计算Z统计量：
- 已知样本均值 $\bar{x} = 270$ 千克，总体均值 $\mu_0 = 250$ 千克，总体标准差 $\sigma = 30$ 千克，样本容量 $n = 25$。
- 根据Z统计量的计算公式 $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，将数值代入可得：
$\begin{align*}Z&=\frac{270 - 250}{30 / \sqrt{25}}\\&=\frac{20}{30 / 5}\\&=\frac{20}{6}\\&\approx 3.33\end{align*}$
- 确定临界值：
- 题目给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，由于是单侧检验（备择假设为 $\mu > 250$），我们需要查找标准正态分布表中右侧面积为 $\alpha = 0.05$ 对应的Z值，即临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
- 比较并结论：
- 计算得到的Z统计量的值 $Z = 3.33$，临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
- 因为 $Z = 3.33 > Z_{0.05} = 1.645$，这意味着样本均值与总体均值的差异在统计上是显著的，所以我们拒绝原假设 $H_0$。
- 拒绝原假设 $H_0$ 就意味着接受备择假设 $H_1$，即可以得出这种化肥使小麦明显增产的结论。