题目
计算题（共5题，50.0分）25.（10.0分）12设总体X服从Rayleigh分布，具有概率密度f(x;theta)=}(x)/(theta^2)e^-(x^(2)/(2theta^2)),xgeq00,x<0为X的样本观测值，试求未知参数θ的最大似然估计量。
计算题（共5题，50.0分）
25.（10.0分）12
设总体X服从Rayleigh分布，具有概率密度$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{x}{\theta^{2}}e^{-\frac{x^{2}}{2\theta^{2}}},x\geq0\\0,x<0\end{cases}$，而$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为X的样本观测值，试求未知参数θ的最大似然估计量。
题目解答
答案
似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}}
$$
取对数得：
$$
l(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln x_i - 2n \ln \theta - \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2
$$
求导并令其为零：
$$
\frac{d l(\theta)}{d \theta} = -\frac{2n}{\theta} + \frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0
$$
解得：
$$
\theta^2 = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \quad \Rightarrow \quad \theta = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2n}}
$$
二阶导数为负，确保为最大值。
**答案：**
$$
\boxed{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{2n}}}
$$
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本观测值的联合概率密度函数，对于给定的样本观测值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，似然函数为：
$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}} $$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$ l(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln x_i - 2n \ln \theta - \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 $$
步骤 3：求导并令其为零
为了找到对数似然函数的最大值，我们对$l(\theta)$关于$\theta$求导，并令导数等于零：
$$ \frac{d l(\theta)}{d \theta} = -\frac{2n}{\theta} + \frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 $$
步骤 4：解方程求$\theta$
解上述方程，得到$\theta$的估计值：
$$ \theta^2 = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \quad \Rightarrow \quad \theta = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2n}} $$
步骤 5：验证二阶导数
为了确保找到的是最大值，我们计算二阶导数：
$$ \frac{d^2 l(\theta)}{d \theta^2} = \frac{2n}{\theta^2} - \frac{3}{\theta^4} \sum_{i=1}^n x_i^2 $$
将$\theta = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2n}}$代入二阶导数，验证其为负值，确保为最大值。
似然函数是基于样本观测值的联合概率密度函数，对于给定的样本观测值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，似然函数为：
$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}} $$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$ l(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln x_i - 2n \ln \theta - \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 $$
步骤 3：求导并令其为零
为了找到对数似然函数的最大值，我们对$l(\theta)$关于$\theta$求导，并令导数等于零：
$$ \frac{d l(\theta)}{d \theta} = -\frac{2n}{\theta} + \frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 $$
步骤 4：解方程求$\theta$
解上述方程，得到$\theta$的估计值：
$$ \theta^2 = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n x_i^2 \quad \Rightarrow \quad \theta = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2n}} $$
步骤 5：验证二阶导数
为了确保找到的是最大值，我们计算二阶导数：
$$ \frac{d^2 l(\theta)}{d \theta^2} = \frac{2n}{\theta^2} - \frac{3}{\theta^4} \sum_{i=1}^n x_i^2 $$
将$\theta = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2n}}$代入二阶导数，验证其为负值，确保为最大值。