六、(10分)已知MA(2)模型X_(t)=varepsilon_(t)-0.7varepsilon_(t-1)+0.4varepsilon_(t-2)，其中varepsilon_(t)sim WN(0,4)，试求：(1)Var(X_(t));(2)自相关系数rho_(k),(kgeq1).

问题解析

给定的模型是一个移动平均模型（MA(2)模型）：
$X_t = \varepsilon_t - 0.7\varepsilon_{t-1} + 0.4\varepsilon_{t-2}$
其中，$\varepsilon_t$ 是一个白噪声过程，即 $\varepsilon_t \sim WN(0, 4)$，表示 $\varepsilon_t$ 是均值为0，方差为4的白噪声。

我们需要求解两个问题：

1. $\text{Var}(X_t)$
2. 自相关系数 $\rho_k$（$k \geq 1$）

(1) 求 $\text{Var}(X_t)$

首先，我们计算 $X_t$ 的方差。根据方差的性质，对于任意随机变量 $A, B, C$ 和常数 $a, b, c$，有：
$\text{Var}(aA + bB + cC) = a^2 \text{Var}(A) + b^2 \text{Var}(B) + c^2 \text{Var}(C) + 2ab \text{Cov}(A, B) + 2ac \text{Cov}(A, C) + 2bc \text{Cov}(B, C)$

在我们的模型中，$\varepsilon_t$ 是白噪声，因此：
$\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}) = 0$
$\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-2}) = 0$
$\text{Cov}(\varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-2}) = 0$

因此，方差可以简化为：
$\text{Var}(X_t) = \text{Var}(\varepsilon_t - 0.7\varepsilon_{t-1} + 0.4\varepsilon_{t-2})$
$\text{Var}(X_t) = \text{Var}(\varepsilon_t) + (-0.7)^2 \text{Var}(\varepsilon_{t-1}) + (0.4)^2 \text{Var}(\varepsilon_{t-2})$
$\text{Var}(X_t) = 4 + 0.49 \cdot 4 + 0.16 \cdot 4$
$\text{Var}(X_t) = 4 + 1.96 + 0.64$
$\text{Var}(X_t) = 6.6$

(2) 求自相关系数 $\rho_k$（$k \geq 1$）

自相关系数 $\rho_k$ 定义为：
$\rho_k = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t-k})}{\sqrt{\text{Var}(X_t) \text{Var}(X_{t-k})}}$

由于 $\text{Var}(X_t)$ 是常数，我们可以简化为：
$\rho_k = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t-k})}{\text{Var}(X_t)}$

我们分别计算 $k = 1$ 和 $k = 2$ 的自相关系数。

当 $k = 1$ 时：

$\text{Cov}(X_t, X_{t-1}) = \text{Cov}(\varepsilon_t - 0.7\varepsilon_{t-1} + 0.4\varepsilon_{t-2}, \varepsilon_{t-1} - 0.7\varepsilon_{t-2} + 0.4\varepsilon_{t-3})$

由于 $\varepsilon_t$ 是白噪声，只有当两个随机变量的下标相同时，协方差才不为零。因此：
$\text{Cov}(X_t, X_{t-1}) = \text{Cov}(-0.7\varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-1}) + \text{Cov}(0.4\varepsilon_{t-2}, -0.7\varepsilon_{t-2})$
$\text{Cov}(X_t, X_{t-1}) = -0.7 \cdot 4 + 0.4 \cdot (-0.7) \cdot 4$
$\text{Cov}(X_t, X_{t-1}) = -2.8 - 1.12$
$\text{Cov}(X_t, X_{t-1}) = -3.92$

因此：
$\rho_1 = \frac{-3.92}{6.6} \approx -0.594$

当 $k = 2$ 时：

$\text{Cov}(X_t, X_{t-2}) = \text{Cov}(\varepsilon_t - 0.7\varepsilon_{t-1} + 0.4\varepsilon_{t-2}, \varepsilon_{t-2} - 0.7\varepsilon_{t-3} + 0.4\varepsilon_{t-4})$

同样，只有当两个随机变量的下标相同时，协方差才不为零。因此：
$\text{Cov}(X_t, X_{t-2}) = \text{Cov}(0.4\varepsilon_{t-2}, \varepsilon_{t-2})$
$\text{Cov}(X_t, X_{t-2}) = 0.4 \cdot 4$
$\text{Cov}(X_t, X_{t-2}) = 1.6$

因此：
$\rho_2 = \frac{1.6}{6.6} \approx 0.242$

当 $k \geq 3$ 时：

$\text{Cov}(X_t, X_{t-k}) = 0$
因为 $X_t$ 和 $X_{t-k}$ 之间没有共同的白噪声项。

因此：
$\rho_k = 0 \quad \text{for} \quad k \geq 3$

最终答案

1. $\text{Var}(X_t) = 6.6$
2. 自相关系数 $\rho_k$：
   $\rho_1 = -\frac{3.92}{6.6} \approx -0.594$
   $\rho_2 = \frac{1.6}{6.6} \approx 0.242$
   $\rho_k = 0 \quad \text{for} \quad k \geq 3$