题目

已知X~B(1000，0.009)，求P(X≤10) 请用泊松分布近似计算解：λ=（第1空）利用泊松分布近似计算查表得P(X≤10)≈（第2空）注：把详细解答过程拍照上传解答题。第1空：第2空：

已知X~B(1000，0.009)，求P(X≤10) 请用泊松分布近似计算 解：λ=（第1空）利用泊松分布近似计算查表得P(X≤10)≈（第2空） 注：把详细解答过程拍照上传解答题。 第1空： 第2空：

题目解答

答案

为了使用泊松分布近似计算 $ P(X \leq 10) $ 其中 $ X \sim B(1000, 0.009) $，我们首先需要确定泊松分布的参数 $ \lambda $。泊松分布的参数 $ \lambda $ 等于二项分布的期望值 $ np $，其中 $ n $ 是试验次数，$ p $ 是每次试验成功的概率。这里，$ n = 1000 $ 和 $ p = 0.009 $，所以： \[ \lambda = np = 1000 \times 0.009 = 9 \] 现在，我们需要使用泊松分布找到 $ P(X \leq 10) $。泊松分布的概率质量函数由下式给出： \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] 我们需要从 $ k = 0 $ 到 $ k = 10 $ 求和这些概率： \[ P(X \leq 10) = \sum_{k=0}^{10} \frac{e^{-9} 9^k}{k!} \] 而不是手动计算每一项，我们可以使用泊松分布的累积分布函数表，该表提供了 $ P(X \leq x) $ 对于各种 $ \lambda $ 和 $ x $ 的值。对于 $ \lambda = 9 $ 和 $ x = 10 $，表中给出的值大约为 0.706。 因此，$ P(X \leq 10) $ 的近似值为： \[ P(X \leq 10) \approx 0.706 \] 所以，答案是： 第1空：9 第2空：0.706 最终答案是： \[ \boxed{0.706} \]

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的泊松近似应用，涉及参数计算及累积概率查表方法。

解题核心思路：

  1. 确定泊松参数：当二项分布的参数满足 $n$ 较大且 $p$ 较小（通常 $np \leq 10$），可用泊松分布近似，参数 $\lambda = np$。
  2. 查泊松分布表：根据 $\lambda$ 和题目要求的累积概率范围，直接查表获取结果。

破题关键点：

  • 正确计算 $\lambda$：直接利用二项分布的期望公式 $\lambda = np$。
  • 合理使用泊松分布表：明确表中 $\lambda$ 和 $x$ 的对应关系，快速定位数值。

第1空：计算泊松参数 $\lambda$

根据泊松近似条件，$\lambda$ 等于二项分布的期望值：
$\lambda = n \cdot p = 1000 \times 0.009 = 9$

第2空：查泊松分布表求累积概率

  1. 确定参数与范围：已知 $\lambda = 9$，需计算 $P(X \leq 10)$。
  2. 查表操作：在泊松分布表中，找到 $\lambda = 9$ 对应的行，直接查找 $x = 10$ 处的累积概率值。
  3. 结果定位：表中显示 $P(X \leq 10) \approx 0.706$。