某高校女生的收缩压 X (单位: 毫米汞柱) 服从正态分布 N(110, 12^2), 求该校某名女生:(1) 收缩压不超过 105 的概率; (2) 收缩压在 100 至 120 之间的概率.
某高校女生的收缩压 $X$ (单位: 毫米汞柱) 服从正态分布 $N(110, 12^2)$, 求该校某名女生:
(1) 收缩压不超过 105 的概率; (2) 收缩压在 100 至 120 之间的概率.
题目解答
答案
设 $ X $ 服从正态分布 $ N(110, 12^2) $，即 $ \mu = 110 $，$ \sigma = 12 $。
(1) 收缩压不超过 105 的概率
$ P(X \leq 105) = P\left(Z \leq \frac{105 - 110}{12}\right) = P(Z \leq -0.4167) $
由标准正态分布表，$ P(Z \leq -0.42) \approx 0.3372 $，故概率约为 $ \boxed{0.3372} $。
(2) 收缩压在 100 至 120 之间的概率
$ P(100 < X < 120) = P\left(\frac{100 - 110}{12} < Z < \frac{120 - 110}{12}\right) = P(-0.8333 < Z < 0.8333) $
由对称性，$ P(-0.8333 < Z < 0.8333) = 2P(Z < 0.8333) - 1 $
$ P(Z < 0.83) \approx 0.7967 $，故概率约为 $ 2 \times 0.7967 - 1 = 0.5934 $，即 $ \boxed{0.5934} $。
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先明确正态分布的参数，再将非标准正态分布转化为标准正态分布，最后利用标准正态分布表来计算相应的概率。
（1）求收缩压不超过 105 的概率
已知女生的收缩压 $X$ 服从正态分布 $N(110, 12^2)$，其中均值 $\mu = 110$，标准差 $\sigma = 12$。
若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则可通过公式 $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$ 将其转化为标准正态分布 $Z\sim N(0,1)$。
对于 $P(X\leqslant105)$，进行标准化变换：
$\begin{align*}P(X\leqslant105)&=P\left(Z\leqslant\frac{105 - 110}{12}\right)\\&=P\left(Z\leqslant\frac{- 5}{12}\right)\\&\approx P(Z\leqslant - 0.4167)\end{align*}$
在标准正态分布表中查找 $P(Z\leqslant - 0.42)$（通常表中数据保留两位小数），可得 $P(Z\leqslant - 0.42)\approx0.3372$，所以收缩压不超过 105 的概率约为 $0.3372$。
（2）求收缩压在 100 至 120 之间的概率
同样先对 $P(100\lt X\lt120)$ 进行标准化变换：
$\begin{align*}P(100\lt X\lt120)&=P\left(\frac{100 - 110}{12}\lt Z\lt\frac{120 - 110}{12}\right)\\&=P\left(\frac{-10}{12}\lt Z\lt\frac{10}{12}\right)\\&\approx P(-0.8333\lt Z\lt0.8333)\end{align*}$
根据标准正态分布的对称性，$P(-0.8333\lt Z\lt0.8333)=2P(Z\lt0.8333)-1$。
在标准正态分布表中查找 $P(Z\lt0.83)$（通常表中数据保留两位小数），可得 $P(Z\lt0.83)\approx0.7967$。
则 $P(-0.8333\lt Z\lt0.8333)=2\times0.7967 - 1$
$\begin{align*}2\times0.7967 - 1&=1.5934 - 1\\&=0.5934\end{align*}$
所以收缩压在 100 至 120 之间的概率约为 $0.5934$。