题目
从一批含有 4 件正品和 3 件次品的产品中一件一件地抽取，不放回，求直到取得正品为止所需次数 X 的分布列
从一批含有 4 件正品和 3 件次品的产品中一件一件地抽取，不放回，求直到取得正品为止所需次数 X 的分布列
题目解答
答案
解：
已知含有 4 件正品和 3 件次品，则X取值可能为1,2,3,4
∴
∴X的分布列为：
故答案为：
解析
步骤 1：确定随机变量X的取值范围
从含有4件正品和3件次品的产品中一件一件地抽取，直到取得正品为止，因此随机变量X的取值范围为1,2,3,4，即第一次抽到正品，第二次抽到正品，第三次抽到正品，第四次抽到正品。
步骤 2：计算P{X=1}
第一次抽到正品的概率为$\dfrac{C_4^1}{C_7^1}=\dfrac{4}{7}$。
步骤 3：计算P{X=2}
第一次抽到次品，第二次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_4^1}{C_7^1C_6^1}=\dfrac{2}{7}$。
步骤 4：计算P{X=3}
第一次和第二次抽到次品，第三次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_2^1C_4^1}{C_7^1C_6^1C_5^1}=\dfrac{4}{35}$。
步骤 5：计算P{X=4}
第一次、第二次和第三次抽到次品，第四次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_2^1C_1^1C_4^1}{C_7^1C_6^1C_5^1C_4^1}=\dfrac{1}{35}$。
从含有4件正品和3件次品的产品中一件一件地抽取，直到取得正品为止，因此随机变量X的取值范围为1,2,3,4，即第一次抽到正品，第二次抽到正品，第三次抽到正品，第四次抽到正品。
步骤 2：计算P{X=1}
第一次抽到正品的概率为$\dfrac{C_4^1}{C_7^1}=\dfrac{4}{7}$。
步骤 3：计算P{X=2}
第一次抽到次品，第二次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_4^1}{C_7^1C_6^1}=\dfrac{2}{7}$。
步骤 4：计算P{X=3}
第一次和第二次抽到次品，第三次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_2^1C_4^1}{C_7^1C_6^1C_5^1}=\dfrac{4}{35}$。
步骤 5：计算P{X=4}
第一次、第二次和第三次抽到次品，第四次抽到正品的概率为$\dfrac{C_3^1C_2^1C_1^1C_4^1}{C_7^1C_6^1C_5^1C_4^1}=\dfrac{1}{35}$。