设 theta 是一批产品的不合格品率，从中抽取 8 个产品进行检验，发现 3 个不合格品，假如先验分布为(1) theta sim U(0,1)(2) theta sim pi(theta) = } 2(1-theta), & 0 < theta < 1 0, & 其它场合 分别求 theta 的后验分布。

我们来解决这个贝叶斯推断问题，分别求出在两种不同先验分布下，θ 的后验分布。

? 题目回顾

设 θ 是一批产品的不合格品率（即 θ ∈ [0,1]），从该批产品中随机抽取 8 个产品进行检验，发现有 3 个不合格品。我们有如下两个先验分布：

(1) 先验分布为均匀分布：

$\theta \sim U(0,1) \Rightarrow \pi(\theta) = 1,\quad 0 < \theta < 1$

(2) 先验分布为：

$\pi(\theta) = \begin{cases}2(1 - \theta), & 0 < \theta < 1 \\0, & \text{其它}\end{cases}$

目标：分别求出 θ 的后验分布。

✅ 解题思路

这是一个典型的贝叶斯推断问题，使用二项分布作为似然函数。

? 似然函数（Likelihood）

我们从产品中抽取了 8 个产品，其中有 3 个不合格品，即：

• 试验次数：n = 8
• 成功次数（不合格品）：k = 3

假设每个产品不合格的概率为 θ，那么似然函数为：
$L(\theta) = P(X = 3 \mid \theta) = \binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5$

✅ 解题过程

? 第(1)问：先验分布为均匀分布

先验分布：
$\pi(\theta) = 1,\quad 0 < \theta < 1$

后验分布由贝叶斯公式给出：
$\pi(\theta \mid x) \propto L(\theta) \cdot \pi(\theta)$

代入：
$\pi(\theta \mid x) \propto \binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5 \cdot 1$

$\Rightarrow \pi(\theta \mid x) \propto \theta^3 (1 - \theta)^5$

这是Beta 分布的形式：
$\theta \sim \text{Beta}(\alpha = 3 + 1, \beta = 5 + 1) = \text{Beta}(4, 6)$

✅ 答案(1)：

$\theta \mid x \sim \text{Beta}(4, 6)$

? 第(2)问：先验分布为 π(θ) = 2(1 - θ)

先验分布：
$\pi(\theta) = 2(1 - \theta),\quad 0 < \theta < 1$

后验分布：
$\pi(\theta \mid x) \propto L(\theta) \cdot \pi(\theta) = \binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5 \cdot 2(1 - \theta)$

$\Rightarrow \pi(\theta \mid x) \propto \theta^3 (1 - \theta)^6$

这仍然是 Beta 分布的形式：
$\theta \mid x \sim \text{Beta}(\alpha = 3 + 1, \beta = 6 + 1) = \text{Beta}(4, 7)$

✅ 答案(2)：

$\theta \mid x \sim \text{Beta}(4, 7)$

? 最终答案

(1) 若先验分布为均匀分布，后验分布为：

$\boxed{\theta \mid x \sim \text{Beta}(4, 6)}$

(2) 若先验分布为 π(θ) = 2(1 - θ)，后验分布为：

$\boxed{\theta \mid x \sim \text{Beta}(4, 7)}$

如有需要，也可以进一步计算后验均值、众数、置信区间等。