20.（判断题，5.0分）X~N(1,3)，Y~N(2,4)且X与Y相互独立，则Z=3X-Y也服从正态分布，则Z~N(1,23)A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，即两个独立正态变量的线性组合是否仍为正态分布，以及如何计算其均值和方差。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：若$X$和$Y$独立且服从正态分布，则它们的线性组合$Z = aX + bY$仍服从正态分布。
2. 均值与方差的计算：
   • 均值：$\text{E}(Z) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$
   • 方差：$\text{Var}(Z) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$（注意系数需平方）

破题关键点：

• 正确应用线性组合公式，尤其是系数的平方处理。
• 区分方差与标准差，题目中参数为方差，需直接代入计算。

步骤1：计算均值

根据正态分布的线性性质：
$\text{E}(Z) = \text{E}(3X - Y) = 3\text{E}(X) - \text{E}(Y)$
代入已知条件$\text{E}(X) = 1$，$\text{E}(Y) = 2$：
$\text{E}(Z) = 3 \times 1 - 2 = 1$

步骤2：计算方差

根据独立变量方差的性质：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(3X - Y) = 3^2\text{Var}(X) + (-1)^2\text{Var}(Y)$
代入已知条件$\text{Var}(X) = 3$，$\text{Var}(Y) = 4$：
$\text{Var}(Z) = 9 \times 3 + 1 \times 4 = 27 + 4 = 31$

步骤3：判断结论

• 均值正确：题目中均值为$1$，与计算结果一致。
• 方差错误：题目中方差为$23$，但实际计算结果为$31$，因此原命题错误。