题目

一、判断题（共12题，48.0分）5.（判断题，4.0分）F(x,y)关于x、关于y左连续，即F(x,y)=F(x-0,y).A 对B 错

一、判断题（共12题，48.0分） 5.（判断题，4.0分） F(x,y)关于x、关于y左连续，即F(x,y)=F(x-0,y). A 对 B 错

题目解答

答案

二维分布函数 $ F(x, y) $ 定义为 $ F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) $。根据其性质，$ F(x, y) $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 均右连续，即 $ F(x, y) = \lim_{x' \to x^+} F(x', y) $ 和 $ F(x, y) = \lim_{y' \to y^+} F(x, y') $。
然而，左连续性要求 $ F(x, y) = \lim_{x' \to x^-} F(x', y) $ 和 $ F(x, y) = \lim_{y' \to y^-} F(x, y') $，这与右连续性相反。
对于离散随机变量，分布函数在整数点处有跳跃，不满足左连续性。例如，当 $ X $ 和 $ Y $ 取整数值时，$ F(x, y) $ 在整数点处不左连续。

结论：
陈述“$ F(x, y) $ 关于 $ x $、关于 $ y $ 左连续，即 $ F(x, y) = F(x-0, y) $”错误。

答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查二维分布函数的连续性性质。解题思路是先明确二维分布函数的定义，再根据其性质判断关于$x$和$y$的连续性情况，最后与题目所给的左连续条件进行对比得出结论。

  1. 首先明确二维分布函数的定义：
    二维分布函数$F(x, y)$定义为$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$。
  2. 然后根据二维分布函数的性质：
    二维分布函数$F(x, y)$关于$x$和$y$均右连续，右连续的数学表达式为$F(x, y) = \lim_{x' \to x^+} F(x', y)$和$F(x, y) = \lim_{y' \to y^+} F(x, y')$。这里$\lim_{x' \to x^+}$表示$x'$从$x$的右侧趋近于$x$，$\lim_{y' \to y^+}$表示$y'$从$y$的右侧趋近于$y$。
  3. 接着看左连续的定义：
    左连续性要求$F(x, y) = \lim_{x' \to x^-} F(x', y)$和$F(x, y) = \lim_{y' \to y^-} F(x, y')$，其中$\lim_{x' \to x^-}$表示$x'$从$x$的左侧趋近于$x$，$\lim_{y' \to y^-}$表示$y'$从$y$的左侧趋近于$y$，这与右连续性是相反的。
  4. 最后通过离散随机变量的例子说明：
    对于离散随机变量，分布函数在整数点处有跳跃，不满足左连续性。例如，当$X$和$Y$取整数值时，$F(x, y)$在整数点处不左连续。所以题目中说“$F(x, y)$关于$x$、关于$y$左连续，即$F(x, y) = F(x - 0, y)$”（$F(x - 0, y)=\lim_{x'\to x^-}F(x',y)$）是错误的。