题目

某小型供电站供应某小区300户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户每日的用电量_(8)sim cup (0,20) =1,... ,300(单位:度).（1）求每户每日用电量的平均值_(8)sim cup (0,20) =1,... ,300和方差_(8)sim cup (0,20) =1,... ,300；（2）利用中心极限定理，写出这300户居民每日总用电量_(8)sim cup (0,20) =1,... ,300的近似分布；（3）求这300户居民每日总用电量超过3150度的概率.

某小型供电站供应某小区300户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户每日的用电量 $X_i\sim U(0,20),i=1,\cdots,300$ (单位:度).

（1）求每户每日用电量的平均值 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ ；

（2）利用中心极限定理，写出这300户居民每日总用电量 $\sum_{i=1}^{300}X_i$ 的近似分布；

（3）求这300户居民每日总用电量超过3150度的概率.

题目解答

答案

（1） $X\sim U(0,20)$ 表示总体X服从区间 $\left(0,20\right)$ 上的均匀分布，则 $E\left(X\right)=\frac{0+20}{2}=10,D\left(X\right)=\frac{\left(20-0\right)^2}{12}=\frac{100}{3}$ ；（2） $E\left(\sum_{i=1}^{300}X_i\right)=\sum_{i=1}^{300}E\left(X_i\right)=300E\left(X\right)=300\times10=3000$ ， $D\left(\sum_{i=1}^{300}X_i\right)=\sum_{i=1}^{300}D\left(X_i\right)=300D\left(X\right)=300\times\frac{100}{3}=10000$ ，则 $\sum_{i=1}^{300}X_i\sim N\left(3000,10000\right)$ ；（3） $P\left(\sum_{i=1}^{300}X_i>3150\right)=P\left(\frac{\sum_{i=1}^{300}X_i-3000}{100}>1.5\right)$ $=1-Φ\left(1.5\right)=1-0.9332=0.0668$ .

解析

步骤 1：求每户每日用电量的平均值和方差
每户每日的用电量${X}_{i}\sim U(0,20)$，表示总体X服从区间(0,20)上的均匀分布。对于均匀分布，其期望值和方差有如下公式：
$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$，$D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$，其中a和b是均匀分布的区间端点。
步骤 2：利用中心极限定理，写出这300户居民每日总用电量的近似分布
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。对于300户居民每日总用电量，其期望值和方差分别为：
$E(\sum_{i=1}^{300}X_i)=300E(X)$，$D(\sum_{i=1}^{300}X_i)=300D(X)$。
步骤 3：求这300户居民每日总用电量超过3150度的概率
利用正态分布的性质，将问题转化为标准正态分布的问题，然后利用标准正态分布表求解。