题目
6、有一大批糖果，现从中随机地取16袋，测得s=6.2022，设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体方差sigma^2的置信度为0.95的置信区间。
6、有一大批糖果，现从中随机地取16袋，测得s=6.2022，设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体方差$\sigma^{2}$的置信度为0.95的置信区间。
题目解答
答案
已知样本大小 $n = 16$，样本标准差 $s = 6.2022$，置信度为 0.95。
计算样本方差 $s^2 = (6.2022)^2 = 38.4673$。
自由度 $n-1 = 15$，对应卡方分布的分位数为：
\[
\chi^2_{0.025}(15) = 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) = 6.262
\]
置信区间公式为：
\[
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)} \right)
\]
代入数值计算：
\[
\left( \frac{15 \times 38.4673}{27.488}, \frac{15 \times 38.4673}{6.262} \right) \approx (20.991, 92.141)
\]
**答案：**
\[
\boxed{(20.991, 92.141)}
\]
解析
步骤 1：计算样本方差
样本标准差 $s = 6.2022$，样本方差 $s^2 = (6.2022)^2 = 38.4673$。
步骤 2：确定自由度和卡方分布的分位数
样本大小 $n = 16$，自由度 $n-1 = 15$。置信度为 0.95，对应卡方分布的分位数为： \[ \chi^2_{0.025}(15) = 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) = 6.262 \]
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为： \[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)} \right) \] 代入数值计算： \[ \left( \frac{15 \times 38.4673}{27.488}, \frac{15 \times 38.4673}{6.262} \right) \approx (20.991, 92.141) \]
样本标准差 $s = 6.2022$，样本方差 $s^2 = (6.2022)^2 = 38.4673$。
步骤 2：确定自由度和卡方分布的分位数
样本大小 $n = 16$，自由度 $n-1 = 15$。置信度为 0.95，对应卡方分布的分位数为： \[ \chi^2_{0.025}(15) = 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) = 6.262 \]
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为： \[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)} \right) \] 代入数值计算： \[ \left( \frac{15 \times 38.4673}{27.488}, \frac{15 \times 38.4673}{6.262} \right) \approx (20.991, 92.141) \]