题目
反正切函数y=arctanx的值域为( )对错
反正切函数y=arctanx的值域为
( )
- 对
- 错
题目解答
答案
解：答案选A
反正切函数y=arctanx的值域是正切函数y=tanx的定义域。
∵正切函数定义域为,
∴反正切函数的值域为
∴答案选A
解析
步骤 1：理解反正切函数的定义
反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx的反函数。这意味着，对于每个x值，y=arctanx给出的是一个角度，其正切值等于x。
步骤 2：确定正切函数的定义域
正切函数y=tanx的定义域是所有实数，除了那些使得cosx=0的x值，即$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$，其中k是整数。因此，正切函数的定义域是$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$加上所有形如$\dfrac{\pi}{2}+k\pi$的点的并集。
步骤 3：确定反正切函数的值域
由于反正切函数是正切函数的反函数，其值域就是正切函数的定义域。但是，为了保证反正切函数是单值的，我们通常只考虑正切函数在$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$区间内的部分，因为在这个区间内，正切函数是单调递增的，且覆盖了所有实数值。
反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx的反函数。这意味着，对于每个x值，y=arctanx给出的是一个角度，其正切值等于x。
步骤 2：确定正切函数的定义域
正切函数y=tanx的定义域是所有实数，除了那些使得cosx=0的x值，即$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$，其中k是整数。因此，正切函数的定义域是$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$加上所有形如$\dfrac{\pi}{2}+k\pi$的点的并集。
步骤 3：确定反正切函数的值域
由于反正切函数是正切函数的反函数，其值域就是正切函数的定义域。但是，为了保证反正切函数是单值的，我们通常只考虑正切函数在$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$区间内的部分，因为在这个区间内，正切函数是单调递增的，且覆盖了所有实数值。