题目

某单位每小时每人工资X（元）呈正态分布，且mu=3.5，sigma^2=0.25，求：（1）每小时工资介于2.7元至4元之间的员工所占的百分数；（2）最高工资的5%部分中最少的工资数是多少？

某单位每小时每人工资$X$（元）呈正态分布，且$\mu=3.5$，$\sigma^2=0.25$，求： （1）每小时工资介于2.7元至4元之间的员工所占的百分数； （2）最高工资的5%部分中最少的工资数是多少？

题目解答

答案

(1) 计算工资介于2.7元至4元之间的概率
将 $X$ 转化为标准正态变量 $Z$：
$Z_1 = \frac{2.7 - 3.5}{0.5} = -1.6, \quad Z_2 = \frac{4 - 3.5}{0.5} = 1$
求 $P(-1.6 < Z < 1)$：
$P(-1.6 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1.6) = 0.8413 - (1 - 0.9452) = 0.7865$
答案： 78.65%

(2) 求最高工资的5%部分的最低工资
需 $P(X > x) = 0.05$，即 $P(X \leq x) = 0.95$。
转化为标准正态变量：
$P\left(Z \leq \frac{x - 3.5}{0.5}\right) = 0.95 \quad \Rightarrow \quad \frac{x - 3.5}{0.5} = 1.645$
解得：
$x = 3.5 + 1.645 \times 0.5 = 4.3225$
答案： 4.3225元

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) 78.65\%} \\\text{(2) 4.3225元} \\\end{array}}$

解析

本题主要考查正态分布的相关知识，解题的关键在于将一般正态分布转化为标准正态正态分布，再利用标准正态分布表来计算概率和求解特定值。

（1. 计算每小时工资介于2.7元至4元之间的的员工所占的百分数）

  • 首先明确正态分布的参数，已知$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu = 3.5$，$\sigma^{2}=0.25$，则$\sigma=\sqrt{0.25} = 0.5$。
    • 为了利用标准正态分布表，我们将一般正态变量$X$转化为标准正态变量$Z$，其公式为$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$。
    • 当$X = 2.7$时，$Z_1=\frac{2.7 - 3.5}{0.5}=\frac{-0.8}{0.5}=-1.6$。
    • 当$X = 4$时，$Z_2=\frac{4 - 3.5}{0.5}=\frac{0.5}{0.5}=1$。
    • 那么上上，我们要求$P(2.7\lt X\lt4)$，根据正态分布的性质，$P(2.7\lt X\lt4)=P(-1.6\lt Z\lt1)$。
    • 又因为$P(-1.6\lt Z\lt1)=P(Z\lt1)-P(Z\lt - 1.6)$。
    • 查标准正态分布表中$P(Z\lt1)=0.8413$，$P(Z\lt - 1.6)=1 - P(Z\lt1.6)$，而$P(Z\lt1.6)=0.9452$，所以$P(Z\lt - 1.6)=1 - 0.9452 = 0.0548$。
    • 则$P(-1.6\lt Z\lt1)=0.8413-0.0548 = 0.7865$，转化为百分数为$78.65\%$。

（2. 求最高工资的5%部分中最少的工资数）

  • 设最高工资的$5\%$部分中最少的工资数为$x$，即$P(X\gt x)=0.05$，那么$P(X\leq x)=1 - P(X\gt x)=1 - 0.05 = 0.95$。
  • 同样将$X$转化为标准正态变量$Z$，$P\left(Z\leq\frac{x - 3.5}{0.5}\right)=0.95$。
  • 查标准正态分布表，使得$P(Z\leq z)=0.95$的$z$值约为$1.645$，所以$\frac{x - 3.5}{0.5}=1.645$。
  • 求解$x$，等式两边同时乘以$0.5$得$x - 3.5=1.645\times0.5$，即$x - 3.5 = 0.8225$。
  • 移项可得$x=3.5 + 0.8225 = 4.3225$（元）。