题目
设总体sim N(mu ,(sigma )^2), sim N(mu ,(sigma )^2) 为从该总体中得到的样本，sim N(mu ,(sigma )^2)和sim N(mu ,(sigma )^2)分别是样本均值和样本方差，则sim N(mu ,(sigma )^2) ( ) A、对 B、错
设总体
, 
为从该总体中得到的样本，
和
分别是样本均值和样本方差，则
( )
A、对
B、错
题目解答
答案
由已知有：总体, 为从该总体中得到的样本，和分别是样本均值和样本方差
由样本均值和样本方差的性质有：
，
，且和相互独立。
故
故
，即
故答案为：B
解析
步骤 1：样本均值和样本方差的性质
由已知条件，总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$是从该总体中得到的样本，$\overline{X}$和$S^2$分别是样本均值和样本方差。根据样本均值和样本方差的性质，有：
- $\overline{X}\sim N(\mu ,\dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$
- $\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$
- $\overline{X}$和$S^2$相互独立。
步骤 2：标准化样本均值
根据样本均值的性质，$\overline{X}\sim N(\mu ,\dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$，可以标准化样本均值，得到：
- $\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{{\sigma}^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$
步骤 3：替换标准差
由于$\overline{X}$和$S^2$相互独立，且$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，可以将$\sigma$替换为$S$，得到：
- $\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$
由已知条件，总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$是从该总体中得到的样本，$\overline{X}$和$S^2$分别是样本均值和样本方差。根据样本均值和样本方差的性质，有：
- $\overline{X}\sim N(\mu ,\dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$
- $\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$
- $\overline{X}$和$S^2$相互独立。
步骤 2：标准化样本均值
根据样本均值的性质，$\overline{X}\sim N(\mu ,\dfrac{{\sigma}^{2}}{n})$，可以标准化样本均值，得到：
- $\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\dfrac{{\sigma}^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$
步骤 3：替换标准差
由于$\overline{X}$和$S^2$相互独立，且$\dfrac{(n-1)S^2}{{\sigma}^{2}}\sim \chi^2(n-1)$，可以将$\sigma$替换为$S$，得到：
- $\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$