9.应用3阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差:-|||-(1) sqrt [3](30); (2)sin18°.

考查要点：本题主要考查利用三阶泰勒公式展开函数，求近似值并估计误差的能力。需要掌握泰勒多项式的展开方法及拉格朗日余项的计算。

解题核心思路：

1. 选择展开点：选取与目标值接近且易计算的点展开，如$\sqrt[3]{30}$以$27$为展开点（因$27^{1/3}=3$），$\sin18^\circ$以弧度$\pi/10$展开。
2. 展开泰勒多项式：对函数展开至三阶，代入目标值计算近似值。
3. 余项估计：利用拉格朗日余项公式，找到余项最大可能值，确定误差范围。

破题关键点：

• 导数计算：准确计算各阶导数在展开点的值。
• 单位转换：角度需转换为弧度（如$18^\circ = \pi/10$）。
• 余项上界：确定余项中导数的最大绝对值，代入计算误差。

第（1）题：$\sqrt[3]{30}$

展开函数与泰勒多项式

设$f(x) = x^{1/3}$，在$a=27$处展开，$h=30-27=3$。三阶泰勒多项式为：
$\begin{aligned}f(a+h) &\approx f(a) + f'(a)h + \frac{f''(a)}{2}h^2 + \frac{f'''(a)}{6}h^3 \\f(27) &= 3, \quad f'(27) = \frac{1}{3} \cdot 27^{-2/3} = \frac{1}{27}, \\f''(27) &= -\frac{2}{9} \cdot 27^{-5/3} = -\frac{2}{729}, \quad f'''(27) = \frac{10}{27} \cdot 27^{-8/3} = \frac{10}{531441}.\end{aligned}$
代入得：
$\sqrt[3]{30} \approx 3 + \frac{1}{27} \cdot 3 - \frac{2}{729} \cdot \frac{9}{2} + \frac{10}{531441} \cdot \frac{27}{6} \approx 3.10724.$

余项估计

四阶导数$f^{(4)}(x) = -\frac{80}{81}x^{-11/3}$，在$[27,30]$上最大值为$f^{(4)}(27) = -\frac{80}{81} \cdot 27^{-11/3}$。余项为：
$|R_3| \leq \frac{80}{81 \cdot 27^{11/3} \cdot 4!} \cdot 3^4 \approx 1.88 \times 10^{-5}.$

第（2）题：$\sin18^\circ$

展开函数与泰勒多项式

设$f(x) = \sin x$，以$x = \pi/10$（$18^\circ$的弧度值）展开。三阶泰勒多项式为：
$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}.$
代入$x = \pi/10 \approx 0.31416$：
$\sin 18^\circ \approx 0.31416 - \frac{(0.31416)^3}{6} \approx 0.3090.$

余项估计

四阶导数$f^{(4)}(x) = \sin x$，在$[0, \pi/10]$上最大值为$\sin(\pi/10) \approx 0.3090$。余项为：
$|R_3| \leq \frac{0.3090 \cdot (\pi/10)^4}{4!} \approx 1.3 \times 10^{-1}.$