题目
设随机变量X和Y都服从N(0,1)，下列结论一定正确的是（A. X^2和Y^2都服从卡方分布B. X^2 + Y^2服从卡方分布C. (X^2)/(Y^2)服从F分布D. X + Y sim N(0,2)
设随机变量X和Y都服从$N(0,1)$，下列结论一定正确的是（
A. $X^2$和$Y^2$都服从卡方分布
B. $X^2 + Y^2$服从卡方分布
C. $\frac{X^2}{Y^2}$服从F分布
D. $X + Y \sim N(0,2)$
题目解答
答案
A. $X^2$和$Y^2$都服从卡方分布
解析
步骤 1：分析选项A
根据正态分布的性质，若 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为1的卡方分布，与 $X$ 和 $Y$ 是否独立无关。因此，$X^2$ 和 $Y^2$ 均服从 $\chi^2(1)$，正确。
步骤 2：分析选项B
$X^2 + Y^2$ 服从卡方分布的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $X^2 + Y^2$ 是否服从 $\chi^2(2)$，不选。
步骤 3：分析选项C
$\frac{X^2}{Y^2}$ 服从F分布的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $\frac{X^2}{Y^2}$ 是否服从 $F(1,1)$，排除。
步骤 4：分析选项D
$X + Y \sim N(0,2)$ 的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $X + Y$ 是否服从 $N(0,2)$，排除。
根据正态分布的性质，若 $X \sim N(0,1)$，则 $X^2$ 服从自由度为1的卡方分布，与 $X$ 和 $Y$ 是否独立无关。因此，$X^2$ 和 $Y^2$ 均服从 $\chi^2(1)$，正确。
步骤 2：分析选项B
$X^2 + Y^2$ 服从卡方分布的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $X^2 + Y^2$ 是否服从 $\chi^2(2)$，不选。
步骤 3：分析选项C
$\frac{X^2}{Y^2}$ 服从F分布的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $\frac{X^2}{Y^2}$ 是否服从 $F(1,1)$，排除。
步骤 4：分析选项D
$X + Y \sim N(0,2)$ 的条件是 $X$ 和 $Y$ 独立。题目未明确 $X$ 和 $Y$ 的独立性，因此不能确定 $X + Y$ 是否服从 $N(0,2)$，排除。