题目
设n(ngeq2)阶矩阵A可逆，A^*是A的伴随矩阵，则().A. (A^*)^* = |A|^n-1 AB. (A^*)^* = |A|^n-1 AC. (A^*)^* = |A|^n-2 AD. (A^*)^* = |A|^n-2 A
设$n(n\geq2)$阶矩阵$A$可逆，$A^*$是$A$的伴随矩阵，则().
A. $(A^*)^* = |A|^{n-1} A$
B. $(A^*)^* = |A|^{n-1} A$
C. $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$
D. $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$
题目解答
答案
对于可逆矩阵 $ A $，其伴随矩阵 $ A^* $ 满足 $ A^* = |A|A^{-1} $。
利用性质 $ (kA)^* = k^{n-1}A^* $ 和 $ (A^{-1})^* = (A^*)^{-1} $，可得：
\[
(A^*)^* = (|A|A^{-1})^* = |A|^{n-1}(A^{-1})^* = |A|^{n-1}(A^*)^{-1} = |A|^{n-1} \left( \frac{1}{|A|}A \right) = |A|^{n-2}A.
\]
因此，正确选项为 $\boxed{C}$。
解析
本题考查可逆矩阵伴随矩阵的性质及相关运算。解题的关键在于利用可逆矩阵伴随矩阵的基本公式$A^* = |A|A^{-1}$，以及伴随矩阵的一些运算性质$(kA)^* = k^{n - 1}A^*$和$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$来逐步推导$(A^*)^*$的表达式。
- 首先，根据可逆矩阵伴随矩阵的性质，对于可逆矩阵$A$，有$A^* = |A|A^{-1}$。
- 然后，求$(A^*)^*$，将$A^*$替换为$|A|A^{-1}$，得到$(A^*)^* = (|A|A^{-1})^*$。
- 接着，利用性质$(kA)^* = k^{n - 1}A^*$，这里$k = |A|$，则$(|A|A^{-1})^* = |A|^{n - 1}(A^{-1})^*$。
- 再根据性质$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$，可得$|A|^{n - 1}(A^{-1})^* = |A|^{n - 1}(A^*)^{-1}$。
- 又因为$A^* = |A|A^{-1}$，所以$(A^*)^{-1} = (|A|A^{-1})^{-1}$。根据逆矩阵的运算性质$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$（$k\neq0$），则$(|A|A^{-1})^{-1}=\frac{1}{|A|}(A^{-1})^{-1}$，而$(A^{-1})^{-1}=A$，所以$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。
- 最后，将$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$代入$|A|^{n - 1}(A^*)^{-1}$，可得$|A|^{n - 1}(A^*)^{-1}=|A|^{n - 1}\times\frac{1}{|A|}A = |A|^{n - 2}A$。