题目
问答题第4题 设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(100)独立同分布，且X_(i)服从参数为4的泊松分布，overline(X)是其算数平均值，则根据中心极限定理有Poverline{X)leq4.392}=____.请在下方区域作答：(本题不支持系统判断正确错误，请自行判断)
问答题
第4题 设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{100}$独立同分布，且$X_{i}$服从参数为4的泊松分布，$\overline{X}$是其算数平均值，则根据中心极限定理有$P\{\overline{X}\leq4.392\}=$____.
请在下方区域作答：(本题不支持系统判断正确错误，请自行判断)
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 独立同分布，服从参数为 4 的泊松分布。则 $E(X_i) = 4$，$D(X_i) = 4$。
算术平均值 $\overline{X} = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} X_i$，其均值和方差分别为：
\[
E(\overline{X}) = 4, \quad D(\overline{X}) = \frac{4}{100} = 0.04
\]
由中心极限定理，$\overline{X}$ 近似服从正态分布 $N(4, 0.04)$。
标准化得：
\[
Z = \frac{\overline{X} - 4}{0.2} \sim N(0, 1)
\]
则：
\[
P\{\overline{X} \leq 4.392\} = P\{Z \leq \frac{4.392 - 4}{0.2}\} = P\{Z \leq 1.96\} \approx 0.975
\]
**答案：** $\boxed{0.975}$（或 $\Phi(1.96)$）
解析
考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及泊松分布的性质、正态分布的标准化转换以及标准正态分布函数的计算。
解题核心思路：
- 确定分布参数：泊松分布的均值和方差均为参数$\lambda=4$。
- 计算平均值的期望与方差：利用独立同分布随机变量的线性性质，求出$\overline{X}$的期望和方差。
- 应用中心极限定理：将$\overline{X}$近似为正态分布，通过标准化转换为标准正态分布问题。
- 查标准正态分布表：根据标准化后的值计算概率。
破题关键点：
- 正确计算方差：注意$\overline{X}$的方差为单个变量方差除以样本量$n$。
- 标准化公式：将$\overline{X}$的值转换为标准正态变量$Z$的形式。
- 熟记关键分位点：$Z=1.96$对应单侧概率$0.975$。
步骤1：确定分布参数
泊松分布的参数$\lambda=4$，因此每个$X_i$的期望和方差为：
$E(X_i) = 4, \quad D(X_i) = 4.$
步骤2：计算平均值的期望与方差
算术平均值$\overline{X} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i$的期望和方差为：
$E(\overline{X}) = E(X_i) = 4,$
$D(\overline{X}) = \frac{D(X_i)}{n} = \frac{4}{100} = 0.04.$
步骤3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，$\overline{X}$近似服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(4, 0.04\right).$
步骤4：标准化转换
将$\overline{X}$标准化为标准正态变量$Z$：
$Z = \frac{\overline{X} - E(\overline{X})}{\sqrt{D(\overline{X})}} = \frac{\overline{X} - 4}{0.2}.$
步骤5：计算概率
求$P\{\overline{X} \leq 4.392\}$：
$P\{\overline{X} \leq 4.392\} = P\left\{Z \leq \frac{4.392 - 4}{0.2}\right\} = P\{Z \leq 1.96\}.$
查标准正态分布表得：
$P\{Z \leq 1.96\} = 0.975.$