下列方程是可分离变量的微分方程是( )A. y' + y = xB. y' + sin(xy) = 0C. 4y' + xy = 0D. y' + 2y = 3x

可分离变量微分方程的核心特征是方程能够整理成 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的形式，即变量 $x$ 和 $y$ 的函数分别出现在等式两边。解题的关键在于识别方程是否能通过代数变形实现变量分离。

本题选项中：

• 选项C通过移项可整理为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4} y$，此时 $x$ 的函数 $-\frac{x}{4}$ 和 $y$ 的函数 $y$ 分别位于等式右侧，符合可分离变量的定义。
• 其余选项（如线性微分方程或含乘积项 $\sin(xy)$ 的方程）无法直接分离变量。

选项分析

选项C：$4y' + xy = 0$

1. 移项整理：
   将方程变形为 $y' = -\frac{x}{4} y$。
2. 分离变量：
   写成微分形式 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4} y$，进一步分离为 $\frac{dy}{y} = -\frac{x}{4} dx$。
3. 可积分性：
   左侧仅含 $y$，右侧仅含 $x$，可通过积分求解。

其余选项分析

• 选项A：$y' + y = x$ 是线性微分方程，需用积分因子法。
• 选项B：$\sin(xy)$ 含 $x$ 和 $y$ 的乘积，无法分离。
• 选项D：$y' + 2y = 3x$ 同样为线性微分方程。