题目
变量X服从参数为3的指数分布，用切比雪夫不等式估计 P(|X-(1)/(3)|geq2)leq______.A. (1)/(36)B. (1)/(9)C. (1)/(16)D. (1)/(3)
变量$X$服从参数为3的指数分布，用切比雪夫不等式估计 $P\left(\left|X-\frac{1}{3}\right|\geq2\right)\leq\_\_\_\_\_\_$.
A. $\frac{1}{36}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{1}{3}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{36}$
解析
步骤 1：确定指数分布的均值和方差
对于参数为 $\lambda$ 的指数分布，其均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 分别为： \[ \mu = \frac{1}{\lambda}, \quad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} \] 在本题中，参数 $\lambda = 3$，因此均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 为： \[ \mu = \frac{1}{3}, \quad \sigma^2 = \frac{1}{9} \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式 states: \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] 我们需要将 $ P\left(\left|X-\frac{1}{3}\right|\geq2\right) $ 转换为切比雪夫不等式的形式。令 $ k\sigma = 2 $，则 $ k = \frac{2}{\sigma} $。由于 $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$，我们有： \[ k = \frac{2}{\frac{1}{3}} = 6 \]
步骤 3：计算概率的上界
将 $ k = 6 $ 代入切比雪夫不等式，得到： \[ P\left(\left|X-\frac{1}{3}\right|\geq2\right) \leq \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \]
对于参数为 $\lambda$ 的指数分布，其均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 分别为： \[ \mu = \frac{1}{\lambda}, \quad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} \] 在本题中，参数 $\lambda = 3$，因此均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 为： \[ \mu = \frac{1}{3}, \quad \sigma^2 = \frac{1}{9} \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式 states: \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] 我们需要将 $ P\left(\left|X-\frac{1}{3}\right|\geq2\right) $ 转换为切比雪夫不等式的形式。令 $ k\sigma = 2 $，则 $ k = \frac{2}{\sigma} $。由于 $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$，我们有： \[ k = \frac{2}{\frac{1}{3}} = 6 \]
步骤 3：计算概率的上界
将 $ k = 6 $ 代入切比雪夫不等式，得到： \[ P\left(\left|X-\frac{1}{3}\right|\geq2\right) \leq \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \]