(10分)已知X1, X2, X3, X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知。设有估计量_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4))_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4))_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4))(1) 指出_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4))中哪几个是θ的无偏估计量;(2) 在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效。

考查要点：本题主要考查无偏估计量的判断及估计量有效性的比较。
解题思路：

1. 无偏性判断：计算每个估计量的期望，若等于参数θ，则为无偏估计量。
2. 有效性比较：在无偏估计量中，计算方差，方差更小的估计量更有效。
   关键点：

• 指数分布的性质：均值为θ，方差为θ²。
• 线性组合的期望与方差：利用线性性质展开计算。

第（1）题

计算各估计量的期望

1. 对于$T_1$：
   $E(T_1) = \frac{1}{6}(E(X_1) + E(X_2)) + \frac{1}{3}(E(X_3) + E(X_4)) = \frac{1}{6}(2\theta) + \frac{1}{3}(2\theta) = \theta$
   结论：$T_1$是无偏估计量。

2. 对于$T_2$：
   $E(T_2) = \frac{1}{5}(E(X_1) + 2E(X_2) + 3E(X_3) + 4E(X_4)) = \frac{1}{5}(10\theta) = 2\theta$
   结论：$T_2$不是无偏估计量。

3. 对于$T_3$：
   $E(T_3) = \frac{1}{4}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4)) = \frac{1}{4}(4\theta) = \theta$
   结论：$T_3$是无偏估计量。

答案：$T_1$和$T_3$是θ的无偏估计量。

第（2）题

计算方差

1. 对于$T_1$：
   $D(T_1) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot 2\theta^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 2\theta^2 = \frac{2\theta^2}{36} + \frac{2\theta^2}{9} = \frac{5\theta^2}{18}$

2. 对于$T_3$：
   $D(T_3) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 4\theta^2 = \frac{4\theta^2}{16} = \frac{\theta^2}{4}$

比较方差：$\frac{\theta^2}{4} < \frac{5\theta^2}{18}$，故$T_3$更有效。

答案：$T_3$较为有效。